Uma empresa contrai um empréstimo de \mathrm{R} \ 80.000,00 a juros compostos de2 % ao mês para pagar em 12 meses. Após 6 meses, decide quitar a dívida antecipadamente por meio de desconto comercial simples à taxa deêóíà3 %$ ao mês. Determine o valor a ser pago na quitação.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um único valor:
  • Capital inicial (valor do empréstimo): C = R\$\,80.000,00.
  • Juros compostos: i = 2\% ao mês.
  • Prazo original para pagamento: 12 meses.
  • Após 6 meses a dívida será quitada antecipadamente.
  • Para quitar usa‑se desconto comercial simples à taxa d = 3\% ao mês, aplicado sobre o valor nominal que seria pago no vencimento.
  • Pergunta: determinar o valor a ser pago na quitação (isto é, quanto deve ser pago no mês 6).

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar o valor nominal que a dívida teria no vencimento (após 12 meses) sob juros compostos. A fórmula do montante em juros compostos é
M = C(1+i)^{n},
onde C é o capital inicial, i é a taxa por período (em forma decimal) e n é o número de períodos. Aqui C=80000, i=0,02 e n=12. Então:
N = 80000(1,02)^{12}.
Vamos calcular (1,02)^{12} multiplicando sucessivamente para não pular etapas:
\begin{aligned} (1,02)^2 &= 1,0404,\\\ (1,02)^3 &= 1,0404\times1,02 = 1,061208,\\\ (1,02)^4 &= 1,061208\times1,02 = 1,08243216,\\\ (1,02)^5 &= 1,08243216\times1,02 = 1,1040808032,\\\ (1,02)^6 &= 1,1040808032\times1,02 = 1,126162419264,\\\ (1,02)^7 &= 1,126162419264\times1,02 = 1,14868566764928,\\\ (1,02)^8 &= 1,14868566764928\times1,02 = 1,1716593810022656,\\\ (1,02)^9 &= 1,1716593810022656\times1,02 = 1,195092568622311,\\\ (1,02)^{10} &= 1,195092568622311\times1,02 = 1,2189944209947572,\\\ (1,02)^{11} &= 1,2189944209947572\times1,02 = 1,2433743094146523,\\\ (1,02)^{12} &= 1,2433743094146523\times1,02 = 1,2682417956029454. \end{aligned}

Passo 3

Agora calculamos o valor nominal no vencimento ( 12 meses):
N = 80000\times 1,2682417956029454 \approx R\$\,101459,34.
(Arredondamento aqui feito para centavos; o valor exato com mais casas é R\$\,101459,343648\ldots.)

Passo 4

O desconto comercial simples (também chamado de desconto “bancário” ou “por fora”) sobre um valor nominal N em função do tempo restante t e da taxa de desconto d é dado por
D = N\cdot d \cdot t,
onde d e t estão no mesmo sistema de períodos. Aqui o tempo restante até o vencimento é t = 12-6 = 6 meses e d = 0,03. Então:
D = N\cdot 0,03\cdot 6 = N\cdot 0,18.

Passo 5

O valor a ser pago na quitação no mês 6 é o valor nominal menos o desconto:
A = N - D = N(1 - 0,18) = N\cdot 0,82.
Substituindo o N calculado:
A \approx 101459,34364823563 \times 0,82 \approx R\$\,83.196,66.
Explicando o arredondamento: o produto dá R\$\,83.196,65979588359\ldots, que arredondado a dois centavos fica R\$\,83.196,66.

Resposta

R\$\,83.196,66

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