Escreva um script MatLab para analisar o desempenho de um motor de indução trifásico operando em sua frequência e tensão elétrica nominais. As entradas devem ser a tensão elétrica, a potência elétrica e a frequência nominais do motor, o número de polos, os parâmetros do circuito elétrico equivalente e a perda rotacional. Dada uma velocidade específica, o programa deve calcular a potência elétrica de saída do motor, a potência elétrica de entrada, o fator de potência e a eficiência do motor. Use seu programa em um motor de indução de quatro polos de 500 \mathrm{~kW}, 4,160 \mathrm{kV}, trifásico, 60 Hz , operando a 1725 rpm , cuja perda rotacional na velocidade nominal é de 3,5 \mathrm{~kW} e cujos parâmetros de circuito elétrico equivalente são:
R_{\mathrm{s}}=0,521, \quad R_{\mathrm{r}}^{\prime}=1,32, \quad X_{\ell \mathrm{s}}=4,98, \quad X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}=5,32 \quad \text { e } \quad X_{\mathrm{m}}=136

Passo 1

O enunciado pede que seja escrito um script em MatLab que, dado um motor de indução trifásico operando em sua frequência e tensão nominais, calcule — para uma velocidade específica — as quantidades abaixo:
  • a potência de saída do motor (potência no eixo, depois de descontar perdas rotacionais);
  • a potência de entrada elétrica do motor;
  • o fator de potência;
  • a eficiência do motor.
As entradas exigidas pelo enunciado são:
  • a tensão de linha nominal V_{LL};
  • a potência nominal elétrica (não será usada diretamente nos cálculos, serve só como referência);
  • a frequência nominal f;
  • o número de polos p;
  • os parâmetros do circuito equivalente referidos ao estator/rotor: R_{\mathrm{s}},\;R_{\mathrm{r}}',\;X_{\ell\mathrm{s}},\;X_{\ell\mathrm{r}}',\;X_{\mathrm{m}};
  • a perda rotacional nominal P_{\mathrm{rot,nom}};
  • a velocidade de operação solicitada n (em rpm).
Dados numéricos fornecidos (para usar no programa):
  • potência nominal: 500\\ \mathrm{kW} (informativa);
  • V_{LL}=4{,}160\\ \mathrm{kV};
  • f=60\\ \mathrm{Hz};
  • p=4 polos;
  • velocidade de operação dada: n=1725\\ \mathrm{rpm};
  • perda rotacional na velocidade nominal: P_{\mathrm{rot,nom}}=3{,}5\\ \mathrm{kW};
  • parâmetros elétricos: R_{\mathrm{s}}=0{,}521,\quad R_{\mathrm{r}}'=1{,}32,\quad X_{\ell\mathrm{s}}=4{,}98,\quad X_{\ell\mathrm{r}}'=5{,}32,\quad X_{\mathrm{m}}=136.
Observação importante que já deixa claro o que vou fazer nos passos seguintes: o enunciado não especificou como a perda rotacional varia com a velocidade. Vou assumir uma dependência quadrática com a velocidade (ou seja, P_{\mathrm{rot}}\propto n^{2}), que é uma aproximação comum para perdas por vento e atrito aerodinâmico; vou justificar e explicitar isso no próximo passo. Não resolvo nada neste passo; só organizei o pedido e os dados.

Passo 2

Plano de solução e fórmulas fundamentais — explicação didática passo-a-passo:
  1. Síncrona e escorregamento
  • A velocidade síncrona do motor em rpm é dada por
n_{\mathrm{s}}=\frac{120\,f}{p}.
Explanação: para uma máquina trifásica com p polos e frequência f (Hz), este é o número de rotações do campo magnético por minuto. O escorregamento s é a medida de quanto o rotor está atrás do campo e é definido por
s=\frac{n_{\mathrm{s}}-n}{n_{\mathrm{s}}}.
Isso nos dá a variável s que entra no ramo rotor do circuito equivalente.
  1. Modelo por fase e tensões
  • Para um motor trifásico normalmente ligado em estrela (Y), a tensão por fase é
V_{\varphi}=\frac{V_{LL}}{\sqrt{3}}.
Explanação: a tensão entre duas fases é V_{LL}. Em ligação em estrela a tensão de fase é V_{LL}/\sqrt{3}. Vou assumir ligação em estrela porque é o caso mais comum para altas tensões (4,16 kV).
  1. Circuito equivalente por fase (referido ao estator)
  • A impedância série do estator é Z_s=R_{\mathrm{s}}+jX_{\ell\mathrm{s}}.
  • A impedância do rotor referida é Z_r=\dfrac{R_{\mathrm{r}}'}{s}+jX_{\ell\mathrm{r}}'.
  • A reatância de magnetização é jX_{\mathrm{m}}.
  • Essas duas últimas (o ramo rotor Z_r e a reatância de magnetização jX_{\mathrm{m}}) estão em paralelo. Chamemos esse paralelo de Z_p.
  • A impedância total por fase é
Z_{\mathrm{tot}}=Z_s+Z_p.
  1. Cálculo de correntes e potências
  • Corrente de linha por fase (fasorial):
I_1=\frac{V_{\varphi}}{Z_{\mathrm{tot}}}.
  • Potência de entrada elétrica total (trifásica) é a parte ativa da potência absorvida:
P_{\mathrm{in}}=3\operatorname{Re}\{V_{\varphi}I_1^{*}\}=3 V_{\varphi}|I_1|\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre V_{\varphi} e I_1.
  • Tensão no ponto do paralelo (tensão sobre Z_p):
V_{p}=V_{\varphi}\cdot\frac{Z_p}{Z_{\mathrm{tot}}}.
  • Corrente do ramo rotor (referido) é
I_{2}=\frac{V_{p}}{Z_r}.
  • Potência que atravessa o entreferro (air-gap) por fase é a potência dissipada em R_{\mathrm{r}}'/s. Assim a potência total no entreferro é
P_{\mathrm{ag}}=3|I_{2}|^{2}\frac{R_{\mathrm{r}}'}{s}.
  • A perda por aquecimento no rotor (perda no cobre do rotor referido) é
P_{\mathrm{rotor,cu}}=3|I_{2}|^{2}R_{\mathrm{r}}'.
  • A potência mecânica desenvolvida pelo rotor (antes das perdas rotacionais) é
P_{\mathrm{dev}}=P_{\mathrm{ag}}-P_{\mathrm{rotor,cu}}=P_{\mathrm{ag}}(1-s).
Explanação: P_{\mathrm{ag}} é a potência que cruza o entreferro; parte dela se perde no cobre do rotor (a fração s), o resto é convertida em potência mecânica.
  1. Perda rotacional e potência de saída no eixo
  • O enunciado forneceu P_{\mathrm{rot,nom}} na velocidade nominal. Como não foi dada outra lei, assumimos que a perda rotacional varia quadráticamente com a velocidade:
P_{\mathrm{rot}}(n)=P_{\mathrm{rot,nom}}\left(\frac{n}{n_{\mathrm{nom}}}\right)^{2}.
Justificativa: perdas por ventoinha e alguns atritos tendem a crescer com \omega^{2} (ou \omega^{3} em alguns casos). A escolha quadrática é uma aproximação habitual, simples e razoável para exercícios práticos. Vou tomar n_{\mathrm{nom}}=n_{\mathrm{s}} (velocidade nominal do campo) a menos que fosse dado outro valor de velocidade nominal do eixo — aqui o enunciado só diz “perda rotacional na velocidade nominal”, por isso adotamos n_{\mathrm{nom}}=n_{\mathrm{s}}. Se o professor espera outra hipótese, basta trocar n_{\mathrm{nom}} no script.
  • Potência na saída do eixo (potência útil no eixo) é então
P_{\mathrm{out}}=P_{\mathrm{dev}}-P_{\mathrm{rot}}(n).
  1. Fator de potência e eficiência
  • Fator de potência (valor escalar, sinal indicando adiantado/atrasado):
\mathrm{pf}=\frac{P_{\mathrm{in}}}{\sqrt{3}\,V_{LL}\,I_{\mathrm{line}}}=\cos\varphi,
com I_{\mathrm{line}}=|I_1| para ligação em estrela.
  • Eficiência:
\eta=\frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}}.
Com esses passos e fórmulas temos tudo que precisamos para montar o script MatLab e calcular os valores numéricos solicitados. No passo seguinte eu mostro o script comentado (linha a linha) e depois faço os cálculos numéricos detalhados para o motor pedido.

Passo 3

Script MatLab (função) — cópia/cole no seu MatLab. O script implementa as fórmulas anteriores, aceita entradas e devolve os resultados. Os comentários descrevem cada etapa (use ponto decimal em MatLab conforme padrão).
function [P_out, P_in, pf, eta, results] = motor_inducao_performance(Vll_kV, P_nom_kW, f_Hz, poles, ...
    Rs, Rr_p, Xls, Xlr_p, Xm, Prot_nom_kW, n_rpm)
% MOTOR_INDUCAO_PERFORMANCE calcula desempenho de motor de indução trifásico.
% Entradas:
%  Vll_kV      - tensão de linha em kV (ex: 4.160)
%  P_nom_kW    - potência nominal (apenas referência) em kW
%  f_Hz        - frequência em Hz (ex: 60)
%  poles       - número de polos (ex: 4)
%  Rs, Rr_p    - resistências (ohms por fase): Rs e Rr' (ref. estator)
%  Xls, Xlr_p  - reatâncias de fuga estator/rotor (ohms por fase)
%  Xm          - reatância de magnetização (ohms por fase)
%  Prot_nom_kW - perda rotacional na velocidade nominal (kW)
%  n_rpm       - velocidade de operação desejada (rpm)
%
% Saídas:
%  P_out  - potência na saída do eixo (W)
%  P_in   - potência de entrada elétrica (W)
%  pf     - fator de potência (positivo = atrasado)
%  eta    - eficiência (decimal)
%  results - struct com valores intermediários (correntes, tensões, potências)

% Conversões
Vll = Vll_kV * 1e3;            % V (linha)
Vph = Vll / sqrt(3);           % V (fase)
Prot_nom = Prot_nom_kW * 1e3;  % W
P_nom = P_nom_kW * 1e3;        % W

% 1) velocidade síncrona e escorregamento
ns = 120 * f_Hz / poles;       % rpm
s = (ns - n_rpm) / ns;

% 2) impedâncias
Zs = Rs + 1j * Xls;
Zr = (Rr_p / s) + 1j * Xlr_p;
Zm = 1j * Xm;

% 3) paralelo entre Zm e Zr -> Zp
Zp = (Zm .* Zr) ./ (Zm + Zr);

% 4) impedância total por fase
Ztot = Zs + Zp;

% 5) corrente de linha por fase
I1 = Vph ./ Ztot;              % phasor
I1_mag = abs(I1);
phi = angle(I1);               % radianos (ângulo de I em relação a V)

% 6) potência de entrada (trifásica)
P_in = 3 * real(Vph * conj(I1));   % W

% 7) tensão no paralelo (ponto entre Zs e Zp)
Vp = Vph * (Zp ./ Ztot);

% 8) corrente no rotor referido
I2 = Vp ./ Zr;
I2_mag = abs(I2);

% 9) potências relacionadas ao rotor
Pag = 3 * (I2_mag.^2) .* (Rr_p / s);      % potência no entreferro (W)
Prot_rotor_cu = 3 * (I2_mag.^2) .* Rr_p;  % perda cobre rotor (W)
P_dev = Pag - Prot_rotor_cu;              % potência desenvolvida mecânica (W)

% 10) perda rotacional ajustada para a velocidade n_rpm
% Assumimos Prot ~ n^2 (dependência quadrática). n_nom = ns (velocidade nominal assumida).
Prot = Prot_nom * (n_rpm / ns)^2;

% 11) potência de saída no eixo
P_out = P_dev - Prot;

% 12) fator de potência e eficiência
pf = P_in / (sqrt(3) * Vll * I1_mag);  % escalar (cos phi), sign = positive -> atraso
eta = P_out / P_in;

% 13) resultados intermediários (para inspeção)
results.ns = ns;
results.s = s;
results.Vph = Vph;
results.Zs = Zs;
results.Zr = Zr;
results.Zm = Zm;
results.Zp = Zp;
results.Ztot = Ztot;
results.I1 = I1;
results.I1_mag = I1_mag;
results.I2 = I2;
results.I2_mag = I2_mag;
results.Pag = Pag;
results.Prot_rotor_cu = Prot_rotor_cu;
results.P_dev = P_dev;
results.Prot = Prot;
results.P_out = P_out;

end
Comentário rápido de uso: por exemplo, para executar com os dados do enunciado:
[Vout, Pin, pf, eta, res] = motor_inducao_performance(4.160, 500, 60, 4, ...
    0.521, 1.32, 4.98, 5.32, 136, 3.5, 1725);
Isto retorna Vout = potência de saída em W, Pin em W, pf adimensional, eta adimensional, e res com dados intermediários.

Passo 4

Aplicando numericamente, passo-a-passo, ao motor pedido (faça as contas na prova do mesmo jeito que o programa faz — eu mastiguei os passos):
  1. velocidade síncrona e escorregamento:
n_{\mathrm{s}}=\frac{120\cdot 60}{4}=1800\\ \mathrm{rpm}.
s=\frac{1800-1725}{1800}=\frac{75}{1800}=0,0416667\\ (\text{o mesmo que }1/24).
  1. tensão por fase:
V_{\varphi}=\frac{4160}{\sqrt{3}}\approx 2401{,}85\\ \mathrm{V}.
  1. impedâncias por fase (números dados):
Z_s=0{,}521 + j\,4{,}98.
Z_r=\frac{1{,}32}{0{,}0416667} + j\,5{,}32 \approx 31{,}68 + j\,5{,}32\\ \Omega.
Z_m=j\,136\\ \Omega.
  1. paralelo Z_p (faça divisão de complexos ou deixe para o MatLab). Calculando manualmente (valores arredondados):
Z_p\approx 27{,}95 + j\,11{,}38\\ \Omega.
  1. impedância total por fase:
Z_{\mathrm{tot}}=Z_s+Z_p\approx (0{,}521+27{,}95) + j(4{,}98+11{,}38) =28{,}471 + j\,16{,}36\\ \Omega.
  1. corrente por fase (fasorial e módulo):
I_{1}=\frac{V_{\varphi}}{Z_{\mathrm{tot}}}\quad\Rightarrow\quad |I_{1}|\approx 73{,}16\\ \mathrm{A},
ângulo de I_{1} aproximadamente -29{,}7^\circ (corrente atrasada em relação à tensão).
  1. potência de entrada total:
P_{\mathrm{in}}=3\,V_{\varphi}|I_{1}|\cos\varphi \approx 3\cdot2401{,}85\cdot73{,}16\cdot0{,}8688 \approx 458{,}02\\ \mathrm{kW}.
  1. tensão no paralelo e corrente do rotor:
  • tensão no paralelo V_p tem módulo próximo de 2206\\ \mathrm{V} (é o divisor de tensão entre Z_s e Z_p);
  • corrente do rotor referido |I_{2}|\approx 68{,}68\\ \mathrm{A}.
  1. potência no entreferro e potência desenvolvida:
P_{\mathrm{ag}}=3|I_{2}|^{2}\frac{R_{\mathrm{r}}'}{s} \approx 447{,}21\\ \mathrm{kW}.
P_{\mathrm{dev}}=P_{\mathrm{ag}}(1-s)\approx 428{,}53\\ \mathrm{kW}.
(isto é a potência mecânica desenvolvida pelo rotor antes das perdas rotacionais).
  1. perda rotacional ajustada para n=1725\\ \mathrm{rpm} assumindo dependência quadrática com a velocidade e n_{\mathrm{nom}}=n_{\mathrm{s}}=1800\\ \mathrm{rpm}:
P_{\mathrm{rot}}=3{,}5\\ \mathrm{kW}\left(\frac{1725}{1800}\right)^{2} \approx 3{,}214\\ \mathrm{kW}.
  1. potência na saída do eixo:
P_{\mathrm{out}}=P_{\mathrm{dev}}-P_{\mathrm{rot}} \approx 428{,}533\\ \mathrm{kW} - 3{,}214\\ \mathrm{kW} \approx 425{,}319\\ \mathrm{kW}.
  1. fator de potência e eficiência:
\mathrm{pf}=\cos\varphi\approx 0{,}869\\ \text{(atraso)}.
\eta=\frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}}\approx\frac{425{,}319}{458{,}019}\approx 0{,}929\\ (92{,}9\%).
Se quiser, rode o script dado no passo anterior e ele retornará esses mesmos números (pequenas diferenças por arredondamento).

Passo 5

Observações finais e dicas para a prova (curtas, práticas):
  • Memorizem as fórmulas-chave: n_{\mathrm{s}}=120f/p, s=(n_{\mathrm{s}}-n)/n_{\mathrm{s}} e P_{\mathrm{ag}}=3I_{2}^{2}R_{\mathrm{r}}'/s. Elas resolvem a maior parte dos problemas de desempenho.
  • Ao montar o circuito equivalente em prova, escreva claramente os ramos e calcule Z_p por uma fração complexa (ou use Gauss para a divisão). Não tente simplificar mentalmente demais as partes complexas.
  • Se não for dada lei para perdas rotacionais, declare a hipótese (aqui usei P_{\mathrm{rot}}\propto n^{2}) e siga com ela — em prova, justificar a hipótese é essencial.
  • Se estiver sem calculadora, faça o processo simbólico até a etapa final e depois estime numericamente com aritmética cuidadosa; ou use aproximações de ordem para checar um resultado plausível.

Resposta

P_{\mathrm{out}} \approx 425{,}319\\ \mathrm{kW}
P_{\mathrm{in}} \approx 458{,}019\\ \mathrm{kW}
\mathrm{pf} \approx 0{,}869 (atraso)
\eta \approx 0{,}929 (92{,}9%)

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