Escreva um script MatLab para analisar o desempenho de um motor de indução trifásico operando em sua frequência e tensão elétrica nominais. As entradas devem ser a tensão elétrica, a potência elétrica e a frequência nominais do motor, o número de polos, os parâmetros do circuito elétrico equivalente e a perda rotacional. Dada uma velocidade específica, o programa deve calcular a potência elétrica de saída do motor, a potência elétrica de entrada, o fator de potência e a eficiência do motor. Use seu programa em um motor de indução de quatro polos de
, trifásico, 60 Hz , operando a 1725 rpm , cuja perda rotacional na velocidade nominal é de
e cujos parâmetros de circuito elétrico equivalente são:
Passo 1
O enunciado pede que seja escrito um script em MatLab que, dado um motor de indução trifásico operando em sua frequência e tensão nominais, calcule — para uma velocidade específica — as quantidades abaixo:
- a potência de saída do motor (potência no eixo, depois de descontar perdas rotacionais);
- a potência de entrada elétrica do motor;
- o fator de potência;
- a eficiência do motor.
As entradas exigidas pelo enunciado são:
- a tensão de linha nominal
; - a potência nominal elétrica (não será usada diretamente nos cálculos, serve só como referência);
- a frequência nominal
; - o número de polos
; - os parâmetros do circuito equivalente referidos ao estator/rotor:
; - a perda rotacional nominal
; - a velocidade de operação solicitada
(em rpm).
Dados numéricos fornecidos (para usar no programa):
- potência nominal:
(informativa); -
; -
; -
polos; - velocidade de operação dada:
; - perda rotacional na velocidade nominal:
; - parâmetros elétricos:
Observação importante que já deixa claro o que vou fazer nos passos seguintes: o enunciado não especificou como a perda rotacional varia com a velocidade. Vou assumir uma dependência quadrática com a velocidade (ou seja,
), que é uma aproximação comum para perdas por vento e atrito aerodinâmico; vou justificar e explicitar isso no próximo passo. Não resolvo nada neste passo; só organizei o pedido e os dados.
Passo 2
Plano de solução e fórmulas fundamentais — explicação didática passo-a-passo:
- Síncrona e escorregamento
- A velocidade síncrona do motor em rpm é dada por
Explanação: para uma máquina trifásica com
polos e frequência
(Hz), este é o número de rotações do campo magnético por minuto. O escorregamento
é a medida de quanto o rotor está atrás do campo e é definido por
Isso nos dá a variável
que entra no ramo rotor do circuito equivalente.
- Modelo por fase e tensões
- Para um motor trifásico normalmente ligado em estrela (Y), a tensão por fase é
Explanação: a tensão entre duas fases é
. Em ligação em estrela a tensão de fase é
. Vou assumir ligação em estrela porque é o caso mais comum para altas tensões (4,16 kV).
- Circuito equivalente por fase (referido ao estator)
- A impedância série do estator é
. - A impedância do rotor referida é
. - A reatância de magnetização é
. - Essas duas últimas (o ramo rotor
e a reatância de magnetização ) estão em paralelo. Chamemos esse paralelo de . - A impedância total por fase é
- Cálculo de correntes e potências
- Corrente de linha por fase (fasorial):
- Potência de entrada elétrica total (trifásica) é a parte ativa da potência absorvida:
onde
é o ângulo entre
e
.
- Tensão no ponto do paralelo (tensão sobre
):
- Corrente do ramo rotor (referido) é
- Potência que atravessa o entreferro (air-gap) por fase é a potência dissipada em
. Assim a potência total no entreferro é
- A perda por aquecimento no rotor (perda no cobre do rotor referido) é
- A potência mecânica desenvolvida pelo rotor (antes das perdas rotacionais) é
Explanação:
é a potência que cruza o entreferro; parte dela se perde no cobre do rotor (a fração
), o resto é convertida em potência mecânica.
- Perda rotacional e potência de saída no eixo
- O enunciado forneceu
na velocidade nominal. Como não foi dada outra lei, assumimos que a perda rotacional varia quadráticamente com a velocidade:
Justificativa: perdas por ventoinha e alguns atritos tendem a crescer com
(ou
em alguns casos). A escolha quadrática é uma aproximação habitual, simples e razoável para exercícios práticos. Vou tomar
(velocidade nominal do campo) a menos que fosse dado outro valor de velocidade nominal do eixo — aqui o enunciado só diz “perda rotacional na velocidade nominal”, por isso adotamos
. Se o professor espera outra hipótese, basta trocar
no script.
- Potência na saída do eixo (potência útil no eixo) é então
- Fator de potência e eficiência
- Fator de potência (valor escalar, sinal indicando adiantado/atrasado):
com
para ligação em estrela.
- Eficiência:
Com esses passos e fórmulas temos tudo que precisamos para montar o script MatLab e calcular os valores numéricos solicitados. No passo seguinte eu mostro o script comentado (linha a linha) e depois faço os cálculos numéricos detalhados para o motor pedido.
Passo 3
Script MatLab (função) — cópia/cole no seu MatLab. O script implementa as fórmulas anteriores, aceita entradas e devolve os resultados. Os comentários descrevem cada etapa (use ponto decimal em MatLab conforme padrão).
function [P_out, P_in, pf, eta, results] = motor_inducao_performance(Vll_kV, P_nom_kW, f_Hz, poles, ...
Rs, Rr_p, Xls, Xlr_p, Xm, Prot_nom_kW, n_rpm)
% MOTOR_INDUCAO_PERFORMANCE calcula desempenho de motor de indução trifásico.
% Entradas:
% Vll_kV - tensão de linha em kV (ex: 4.160)
% P_nom_kW - potência nominal (apenas referência) em kW
% f_Hz - frequência em Hz (ex: 60)
% poles - número de polos (ex: 4)
% Rs, Rr_p - resistências (ohms por fase): Rs e Rr' (ref. estator)
% Xls, Xlr_p - reatâncias de fuga estator/rotor (ohms por fase)
% Xm - reatância de magnetização (ohms por fase)
% Prot_nom_kW - perda rotacional na velocidade nominal (kW)
% n_rpm - velocidade de operação desejada (rpm)
%
% Saídas:
% P_out - potência na saída do eixo (W)
% P_in - potência de entrada elétrica (W)
% pf - fator de potência (positivo = atrasado)
% eta - eficiência (decimal)
% results - struct com valores intermediários (correntes, tensões, potências)
% Conversões
Vll = Vll_kV * 1e3; % V (linha)
Vph = Vll / sqrt(3); % V (fase)
Prot_nom = Prot_nom_kW * 1e3; % W
P_nom = P_nom_kW * 1e3; % W
% 1) velocidade síncrona e escorregamento
ns = 120 * f_Hz / poles; % rpm
s = (ns - n_rpm) / ns;
% 2) impedâncias
Zs = Rs + 1j * Xls;
Zr = (Rr_p / s) + 1j * Xlr_p;
Zm = 1j * Xm;
% 3) paralelo entre Zm e Zr -> Zp
Zp = (Zm .* Zr) ./ (Zm + Zr);
% 4) impedância total por fase
Ztot = Zs + Zp;
% 5) corrente de linha por fase
I1 = Vph ./ Ztot; % phasor
I1_mag = abs(I1);
phi = angle(I1); % radianos (ângulo de I em relação a V)
% 6) potência de entrada (trifásica)
P_in = 3 * real(Vph * conj(I1)); % W
% 7) tensão no paralelo (ponto entre Zs e Zp)
Vp = Vph * (Zp ./ Ztot);
% 8) corrente no rotor referido
I2 = Vp ./ Zr;
I2_mag = abs(I2);
% 9) potências relacionadas ao rotor
Pag = 3 * (I2_mag.^2) .* (Rr_p / s); % potência no entreferro (W)
Prot_rotor_cu = 3 * (I2_mag.^2) .* Rr_p; % perda cobre rotor (W)
P_dev = Pag - Prot_rotor_cu; % potência desenvolvida mecânica (W)
% 10) perda rotacional ajustada para a velocidade n_rpm
% Assumimos Prot ~ n^2 (dependência quadrática). n_nom = ns (velocidade nominal assumida).
Prot = Prot_nom * (n_rpm / ns)^2;
% 11) potência de saída no eixo
P_out = P_dev - Prot;
% 12) fator de potência e eficiência
pf = P_in / (sqrt(3) * Vll * I1_mag); % escalar (cos phi), sign = positive -> atraso
eta = P_out / P_in;
% 13) resultados intermediários (para inspeção)
results.ns = ns;
results.s = s;
results.Vph = Vph;
results.Zs = Zs;
results.Zr = Zr;
results.Zm = Zm;
results.Zp = Zp;
results.Ztot = Ztot;
results.I1 = I1;
results.I1_mag = I1_mag;
results.I2 = I2;
results.I2_mag = I2_mag;
results.Pag = Pag;
results.Prot_rotor_cu = Prot_rotor_cu;
results.P_dev = P_dev;
results.Prot = Prot;
results.P_out = P_out;
end
Comentário rápido de uso: por exemplo, para executar com os dados do enunciado:
[Vout, Pin, pf, eta, res] = motor_inducao_performance(4.160, 500, 60, 4, ...
0.521, 1.32, 4.98, 5.32, 136, 3.5, 1725);
Isto retorna
Vout = potência de saída em W, Pin em W, pf adimensional, eta adimensional, e res com dados intermediários.Passo 4
Aplicando numericamente, passo-a-passo, ao motor pedido (faça as contas na prova do mesmo jeito que o programa faz — eu mastiguei os passos):
- velocidade síncrona e escorregamento:
- tensão por fase:
- impedâncias por fase (números dados):
- paralelo
(faça divisão de complexos ou deixe para o MatLab). Calculando manualmente (valores arredondados):
- impedância total por fase:
- corrente por fase (fasorial e módulo):
ângulo de
aproximadamente
(corrente atrasada em relação à tensão).
- potência de entrada total:
- tensão no paralelo e corrente do rotor:
- tensão no paralelo
tem módulo próximo de (é o divisor de tensão entre e ); - corrente do rotor referido
.
- potência no entreferro e potência desenvolvida:
(isto é a potência mecânica desenvolvida pelo rotor antes das perdas rotacionais).
- perda rotacional ajustada para
assumindo dependência quadrática com a velocidade e :
- potência na saída do eixo:
- fator de potência e eficiência:
Se quiser, rode o script dado no passo anterior e ele retornará esses mesmos números (pequenas diferenças por arredondamento).
Passo 5
Observações finais e dicas para a prova (curtas, práticas):
- Memorizem as fórmulas-chave:
, e . Elas resolvem a maior parte dos problemas de desempenho. - Ao montar o circuito equivalente em prova, escreva claramente os ramos e calcule
por uma fração complexa (ou use Gauss para a divisão). Não tente simplificar mentalmente demais as partes complexas. - Se não for dada lei para perdas rotacionais, declare a hipótese (aqui usei
) e siga com ela — em prova, justificar a hipótese é essencial. - Se estiver sem calculadora, faça o processo simbólico até a etapa final e depois estime numericamente com aritmética cuidadosa; ou use aproximações de ordem para checar um resultado plausível.