Um motor de indução trifásico, de oito polos, 60 \mathrm{~Hz}, 4,160 \mathrm{kV}, gaiola de esquilo de 1 MW tem os seguintes parâmetros de circuito elétrico equivalente em ohms por fase, conectado em Y, referidos ao estator:
R_{\mathrm{s}}=0,220, \quad R_{\mathrm{r}}^{\prime}=0,207, \quad X_{\ell \mathrm{s}}=1,95, \quad X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}=2,42 \quad \text { e } \quad X_{\mathrm{m}}=45,7 .
Determine as alterações nessas constantes que resultarão das seguintes modificações de projeto propostas. Considere cada modificação separadamente.
(a) Substitua o enrolamento do estator por um enrolamento idêntico com um tamanho de fio cuja área da seção transversal seja aumentada em 4 \%.

Passo 1

O enunciado pede: trocar o enrolamento do estator por outro idêntico exceto por a área da seção transversal do fio ser aumentada em 4\%. Para essa modificação, determinar as alterações nas constantes do circuito equivalente por fase (conectado em Y, referidas ao estator). Os parâmetros originais dados são:
R_{\mathrm{s}}=0,220,\quad R_{\mathrm{r}}^{\prime}=0,207,\quad X_{\ell \mathrm{s}}=1,95,\quad X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}=2,42,\quad X_{\mathrm{m}}=45,7.
Aqui vou olhar, um a um, quais parâmetros mudam quando só se altera a área do fio do enrolamento do estator em +4\%.

Passo 2

Entendendo como a resistência elétrica do enrolamento depende da área do fio.
Fórmula básica (e muito usada em máquinas elétricas):
R=\rho\frac{\ell}{A},
onde
  • \rho é a resistividade do material (mesmo material do fio assume-se inalterado),
  • \ell é o comprimento do fio (o número de espiras e seu comprimento geometricamente permanecem iguais porque o enrolamento é “idêntico”),
  • A é a área da seção transversal do fio.
Se \rho e \ell permanecem constantes, então R é inversamente proporcional à área A:
R\propto\frac{1}{A}.
Se a área aumenta 4\%, ou seja A_{\text{novo}}=1,04\,A_{\text{antigo}}, então a nova resistência é
R_{\text{novo}}=\frac{R_{\text{antigo}}}{1,04}.
Agora calculo explicitamente para R_{\mathrm{s}}:
R_{\mathrm{s,new}}=\frac{0,220}{1,04}.
Faço a conta passo a passo:
\frac{0,220}{1,04}=0,2115384615\ldots
Arredondando de forma prática para quatro casas decimais:
R_{\mathrm{s,new}}\approx0,2115.
Percentual de variação:
\frac{R_{\mathrm{s,new}}-R_{\mathrm{s}}}{R_{\mathrm{s}}}=\frac{1}{1,04}-1=-0,0384615\ldots\approx-3,846\%.
Ou seja, R_{\mathrm{s}} diminui cerca de 3,85\%.

Passo 3

E os reatâncias X_{\ell \mathrm{s}},\;X_{\ell \mathrm{r}}',\;X_{\mathrm{m}} e R_{\mathrm{r}}'?
Explicando o que cada uma depende, em linguagem simples:
  • A reatância de fuga do estator X_{\ell \mathrm{s}} vem de uma indutância de fuga L_{\ell\mathrm{s}} tal que X_{\ell\mathrm{s}}=\omega L_{\ell\mathrm{s}}. Essa indutância de fuga depende principalmente do número de espiras, da geometria do enrolamento e do caminho magnético das fugas. Se o enrolamento é “idêntico” em número de espiras e geometria (só muda o diâmetro do fio), a indutância e, portanto, X_{\ell\mathrm{s}} praticamente não mudam.
  • O mesmo vale para a reatância de fuga rotórica referida X_{\ell\mathrm{r}}' (depende do rotor e do número de espiras equivalentes quando referido), que não é afetada por mudar só a bitola do fio do estator.
  • A reatância magnetizante X_{\mathrm{m}} depende do entreferro, do número de espiras e da permeabilidade do núcleo. Como o enrolamento tem o mesmo número de espiras e a mesma disposição, X_{\mathrm{m}} permanece essencialmente inalterada.
  • A resistência rotórica referida R_{\mathrm{r}}' não depende do fio do estator; portanto permanece igual.
Também é útil ressaltar (para ficar claro na prova): mudanças na área do fio podem alterar levemente a resistência por efeitos de temperatura/efeitos de corrente de superfície em altas frequências, mas com a informação do enunciado (enrolamento idêntico, apenas área +4%) e em regime usual de máquina industrial, despreza-se essas pequenas correções — a alteração dominante é a redução de R_{\mathrm{s}} pela relação direta com A.

Passo 4

Conclusão (resumindo quantitativa e qualitativamente):
  • R_{\mathrm{s}} muda, diminuindo pela razão 1/1,04. Valor numérico calculado acima.
  • R_{\mathrm{r}}^{\prime},\;X_{\ell \mathrm{s}},\;X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime},\;X_{\mathrm{m}} permanecem inalterados.

Resposta

R_{\mathrm{s,new}}=0,2115 (redução de 3,846\%)
R_{\mathrm{r}}^{\prime}=0,207 (inalterado)
X_{\ell \mathrm{s}}=1,95 (inalterado)
X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}=2,42 (inalterado)
X_{\mathrm{m}}=45,7 (inalterado)

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