Se em uma empresa o custo de produção para x unidades de um determinado bem é dado por C(x)=90 x^{2}+900 e a receita é R(x)=18 x^{4}, determine
(a) A função que representa o lucro.
(b) A função que representa o lucro médio.
(c) A quantidade de equilíbrio desta empresa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Os dados fornecidos são:
  • Custo de produção: C(x)=90\,x^{2}+900.
  • Receita: R(x)=18\,x^{4}.
O enunciado pede:
(a) A função que representa o lucro.
(b) A função que representa o lucro médio.
(c) A quantidade de equilíbrio desta empresa (ou seja, a quantidade para a qual receita e custo se igualam).

Passo 2

Entendendo o lucro. Por definição, o lucro é a diferença entre receita e custo. Se denotarmos o lucro por \pi(x), temos a fórmula geral
\pi(x)=R(x)-C(x).
Substituindo as funções dadas:
\pi(x)=18\,x^{4}-(90\,x^{2}+900).
Agora simplifico os termos:
\pi(x)=18\,x^{4}-90\,x^{2}-900.
Isso é a função lucro. Aqui cada termo representa:
  • 18\,x^{4}: receita total ao produzir x unidades,
  • 90\,x^{2}: parte do custo dependente de x,
  • 900: custo fixo (independente de x).

Passo 3

Lucrar por unidade: lucro médio. O lucro médio (ou lucro por unidade) é o lucro total dividido pelo número de unidades produzidas, desde que x>0. Chamando-o de \bar{\pi}(x),
\bar{\pi}(x)=\frac{\pi(x)}{x},\qquad x>0.
Substituindo \pi(x) que encontramos:
\bar{\pi}(x)=\frac{18\,x^{4}-90\,x^{2}-900}{x}.
Agora divido cada termo por x para deixar mais prático:
\bar{\pi}(x)=18\,x^{3}-90\,x-\frac{900}{x},\qquad x>0.
Explicando os termos: 18\,x^{3} e -90\,x vêm da divisão dos termos polinomiais; -\dfrac{900}{x} mostra o efeito do custo fixo quando diluído por unidade (fica maior quando x é pequeno).

Passo 4

Quantidade de equilíbrio. A quantidade de equilíbrio (ou ponto de break-even) é a x tal que receita iguala custo, isto é \pi(x)=0 ou R(x)=C(x). Parto de
18\,x^{4}=90\,x^{2}+900.
Levo tudo para um lado:
18\,x^{4}-90\,x^{2}-900=0.
Para resolver, faço a substituição y=x^{2} (isso reduz o grau da equação):
18\,y^{2}-90\,y-900=0.
Divido a equação por 18 para simplificar:
y^{2}-5\,y-50=0.
Agora uso a fórmula quadrática ou observo que o discriminante é \Delta=25+200=225, que é 15^{2}. Assim as raízes são
y=\frac{5\pm15}{2}.
Portanto
y_{1}=\frac{5+15}{2}=10,\qquad y_{2}=\frac{5-15}{2}=-5.
Voltando à variável original x, lembrando que y=x^{2}:
  • x^{2}=10 x=\pm\sqrt{10}.
  • x^{2}=-5 não tem solução real (descartada).
Como x representa quantidade produzida, deve ser não negativa, então tomo
x=\sqrt{10}.
Posso checar rapidamente substituindo x^{2}=10 e x^{4}=100 nas expressões:
R(\sqrt{10})=18\cdot100=1800,\qquad C(\sqrt{10})=90\cdot10+900=900+900=1800,
confirmação de que são iguais. Em valor decimal,
\sqrt{10}\approx3,1623.

Resposta

(a) \pi(x)=18\,x^{4}-90\,x^{2}-900
(b) \bar{\pi}(x)=18\,x^{3}-90\,x-\dfrac{900}{x},\qquad x>0
(c) x=\sqrt{10}\approx3,1623

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