Se em uma empresa o custo de produção para
unidades de um determinado bem é dado por
e a receita é
, determine
(a) A função que representa o lucro.
(b) A função que representa o lucro médio.
(c) A quantidade de equilíbrio desta empresa.
(a) A função que representa o lucro.
(b) A função que representa o lucro médio.
(c) A quantidade de equilíbrio desta empresa.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Os dados fornecidos são:
- Custo de produção:
. - Receita:
.
O enunciado pede:
(a) A função que representa o lucro.
(b) A função que representa o lucro médio.
(c) A quantidade de equilíbrio desta empresa (ou seja, a quantidade para a qual receita e custo se igualam).
(a) A função que representa o lucro.
(b) A função que representa o lucro médio.
(c) A quantidade de equilíbrio desta empresa (ou seja, a quantidade para a qual receita e custo se igualam).
Passo 2
Entendendo o lucro. Por definição, o lucro é a diferença entre receita e custo. Se denotarmos o lucro por
, temos a fórmula geral
Substituindo as funções dadas:
Agora simplifico os termos:
Isso é a função lucro. Aqui cada termo representa:
-
: receita total ao produzir unidades, -
: parte do custo dependente de , -
: custo fixo (independente de ).
Passo 3
Lucrar por unidade: lucro médio. O lucro médio (ou lucro por unidade) é o lucro total dividido pelo número de unidades produzidas, desde que
. Chamando-o de
,
Substituindo
que encontramos:
Agora divido cada termo por
para deixar mais prático:
Explicando os termos:
e
vêm da divisão dos termos polinomiais;
mostra o efeito do custo fixo quando diluído por unidade (fica maior quando
é pequeno).
Passo 4
Quantidade de equilíbrio. A quantidade de equilíbrio (ou ponto de break-even) é a
tal que receita iguala custo, isto é
ou
. Parto de
Levo tudo para um lado:
Para resolver, faço a substituição
(isso reduz o grau da equação):
Divido a equação por
para simplificar:
Agora uso a fórmula quadrática ou observo que o discriminante é
, que é
. Assim as raízes são
Portanto
Voltando à variável original
, lembrando que
:
-
dá . -
não tem solução real (descartada).
Como
representa quantidade produzida, deve ser não negativa, então tomo
Posso checar rapidamente substituindo
e
nas expressões:
confirmação de que são iguais. Em valor decimal,
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)