Se o índice anual de inflação permanecer constante em 5 \% durante os próximos 10 anos e o custo por um serviço for ajustado somente pela inflação anual, teremos a função custo para a próxima década dada por
C(t)=c_{0}(1,05)^{t}
onde c_{0} é o valor inicial do serviço e t \in[0,10] o tempo medido em anos. Se o preço atual da entrada de cinema é \mathrm{R} \ 15 qual será o seu valor daqui a 10 anos?

Passo 1

O enunciado dá a função do custo ao longo do tempo:
C(t)=c_{0}(1,05)^{t}
e informa o valor inicial c_{0} e o instante de interesse. Resumindo o que foi dado e o que se pede:
  • Valor atual da entrada de cinema: c_{0}=\mathrm{R}\$\,15.
  • Taxa anual de inflação (constante): 5\%, por isso o fator anual é 1,05.
  • Tempo pedido: t=10 anos.
    O que se pede: calcular o valor da entrada daqui a 10 anos, isto é C(10).

Passo 2

Entendendo a fórmula e as variáveis (passo-a-passo didático):
  • \,C(t) é o custo no tempo t (em anos).
  • \,c_{0} é o custo inicial (no tempo t=0).
  • \,1,05 é o fator multiplicativo anual: 1+0,05 porque a inflação de 5\% aumenta o preço em 5\% a cada ano.
  • O expoente t conta quantas vezes aplicamos esse aumento composto.
    Na prática, para cada ano multiplica-se pelo 1,05. Para 10 anos, multiplica-se 10 vezes, o que é escrito como (1,05)^{10}.

Passo 3

Calculemos (1,05)^{10} por multiplicações sucessivas (maneira que dá para fazer à mão sem fórmula mágica):
\begin{aligned} (1,05)^{1} &= 1,05,\\[4pt] (1,05)^{2} &= 1,05\times1,05 = 1,1025,\\[4pt] (1,05)^{3} &= 1,1025\times1,05 = 1,157625,\\[4pt] (1,05)^{4} &= 1,157625\times1,05 = 1,21550625,\\[4pt] (1,05)^{5} &= 1,21550625\times1,05 = 1,2762815625,\\[4pt] (1,05)^{6} &= 1,2762815625\times1,05 = 1,340095640625,\\[4pt] (1,05)^{7} &= 1,340095640625\times1,05 = 1,40710042265625,\\[4pt] (1,05)^{8} &= 1,40710042265625\times1,05 = 1,4774554437890625,\\[4pt] (1,05)^{9} &= 1,4774554437890625\times1,05 = 1,5513282159785156,\\[4pt] (1,05)^{10} &= 1,5513282159785156\times1,05 = 1,6288946267774414. \end{aligned}]

Passo 4

Agora aplicamos c_{0}=\mathrm{R}\$\,15 na fórmula:
C(10)=15\times(1,05)^{10}=15\times1,6288946267774414=24,433419401661621.
Arredondando para centavos (duas casas decimais), o preço daqui a 10 anos será \mathrm{R}\$\,24,43.

Passo 5

Interpretação rápida e incentivo: isso significa que, com inflação composta de 5\% ao ano, a entrada aumenta aproximadamente 62{,}9\% em 10 anos e passa de \mathrm{R}\$\,15 para cerca de \mathrm{R}\$\,24,43. Continue assim — passos curtos e multiplicações sucessivas são a forma prática de resolver esse tipo de problema à mão.

Resposta

\mathrm{R}\$\,24,43

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