Para prever a população de um dado país numa data futura, muitas vezes é usado um modelo de crescimento exponencial. Para isso, observa-se o valor real da população em intervalos tempos iguais, por um dado período de tempo. Calcula-se, a seguir, a razão entre a população observada em períodos consecutivos. Se a razão for aproximadamente constante, em cada observação, a população é dada pela população anterior multiplicada por esta razão, que é chamada fator de crescimento. A tabela abaixo apresenta dados da população brasileira no período de 1940 a 1980.
Table 1: Tabela 1.1: Fonte: IBGE, Anuários Estatísticos do Brasil (adaptação das autoras em [8]).
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Ano População Absoluta Razão t
1940 41165289 - -
1950 51941767 51941767 / 41165289=1,26 1
1960 70070457 70070457 / 51941767=1,35 2
1970 93139037 - 3
1980 119002706 - 4
Usando estes dados, obter uma previsão para a população brasileira para os anos 1990 e 2000.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Obter uma previsão para a população brasileira nos anos 1990 e 2000.
Informações dadas (peguei estes valores da tabela do enunciado):
  • População em 1940: 41165289.
  • População em 1950: 51941767.
  • População em 1960: 70070457.
  • População em 1970: 93139037.
  • População em 1980: 119002706.
Observação sobre o índice de tempo t usado na tabela:
  • Na tabela t conta o número de décadas desde 1940, ou seja:
    • 1940 corresponde a t=0,
    • 1950 corresponde a t=1,
    • 1960 corresponde a t=2,
    • 1970 corresponde a t=3,
    • 1980 corresponde a t=4.

Passo 2

Modelo adotado e significado das variáveis (aulas rápidas e levinhas):
  • Modelo de crescimento exponencial por década: P(t)=P_0\cdot a^{t},onde:
    • P(t) é a população no tempo (em décadas) t,
    • P_0 é a população no tempo inicial t=0 (aqui P_0 é a população de 1940),
    • a é o fator de crescimento por década (ou seja, multiplica a população a cada década),
    • t é o número de décadas passadas desde 1940.
Explicação curta do porquê usar esse modelo:
  • Se a razão entre populações em décadas consecutivas é aproximadamente constante, então cada década a população é obtida multiplicando a anterior por um mesmo fator a. Esse comportamento é descrito precisamente por P(t)=P_0 a^t.

Passo 3

Como estimar o fator a usando todos os dados disponíveis (método estável):
  • Se há 4 intervalos de década entre 1940 e 1980, o produto dos fatores em cada intervalo vale a^4=\frac{P(1980)}{P(1940)}.Portanto uma estimativa natural e justa para a (usando todos os dados de 1940 a 1980) é a raiz quarta: a=\left(\frac{P(1980)}{P(1940)}\right)^{1/4}.
  • Motivo didático: isso equivale à média geométrica das razões década a década, que é a forma correta de “médias” quando se trabalha com multiplicação/fatores.

Passo 4

Cálculo do fator a usando os valores da tabela (aqui peguei P(1980) e P(1940) da tabela):
  • Calcular a razão total: \frac{P(1980)}{P(1940)}=\frac{119002706}{41165289}\approx 2,89.
  • Portanto a=\left(2,89\right)^{1/4}.Observação prática: 2,89=(1,7)^2, então a=\sqrt{\sqrt{2,89}}=\sqrt{1,7}\approx 1,303840\ldotsArredondando para maior clareza, usarei a\approx 1,30384 (isto é, a cada década a população cresce em aproximadamente 30{,}384\%).

Passo 5

Previsão para 1990 (que corresponde a t=5, pois 1990 é 5 décadas depois de 1940):
  • Usando P(t)=P_0 a^{t} com P_0=41165289 e t=5, ou mais simplesmente usando P(1990)=P(1980)\cdot a: P(1990)=119002706\cdot a.
  • Substituindo a\approx 1,303840: P(1990)\approx 119002706\cdot 1,303840 \approx 155160488.Ou seja, previsão: aproximadamente 155160488 pessoas (arredondando ao número inteiro mais próximo).

Passo 6

Previsão para 2000 (que corresponde a t=6):
  • Podemos usar P(2000)=P(1980)\cdot a^{2}. Note que a^{4}=2,89 implica a^{2}=\sqrt{2,89}=1,7 (como já observamos).
  • Portanto: P(2000)=119002706\cdot a^{2}=119002706\cdot 1,7 \approx 202304600.Previsão: aproximadamente 202304600 pessoas (arredondando ao inteiro mais próximo).

Passo 7

Interpretação final e observações rápidas (amigo solidário):
  • O procedimento usado é razoável quando o crescimento é aproximadamente exponencial e queremos uma previsão baseada em várias observações (usamos as 4 décadas juntas, o que suaviza flutuações de uma única década).
  • Claro que previsões reais podem variar por políticas, migrações, saúde etc., mas este é o método padrão simples para previsão exponencial baseada em dados históricos.

Resposta

1990: 155160488
2000: 202304600

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