Para prever a população de um dado país numa data futura, muitas vezes é usado um modelo de crescimento exponencial. Para isso, observa-se o valor real da população em intervalos tempos iguais, por um dado período de tempo. Calcula-se, a seguir, a razão entre a população observada em períodos consecutivos. Se a razão for aproximadamente constante, em cada observação, a população é dada pela população anterior multiplicada por esta razão, que é chamada fator de crescimento. A tabela abaixo apresenta dados da população brasileira no período de 1940 a 1980.
Table 1: Tabela 1.1: Fonte: IBGE, Anuários Estatísticos do Brasil (adaptação das autoras em [8]).\captionsetup{labelformat=empty}
Ano
População Absoluta
Razão
1940
41165289
-
-
1950
51941767
1
1960
70070457
2
1970
93139037
-
3
1980
119002706
-
4
Usando estes dados, obter uma previsão para a população brasileira para os anos 1990 e 2000.
Table 1: Tabela 1.1: Fonte: IBGE, Anuários Estatísticos do Brasil (adaptação das autoras em [8]).
\captionsetup{labelformat=empty}
| Ano | População Absoluta | Razão |
|
| 1940 | 41165289 | - | - |
| 1950 | 51941767 |
|
1 |
| 1960 | 70070457 |
|
2 |
| 1970 | 93139037 | - | 3 |
| 1980 | 119002706 | - | 4 |
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Obter uma previsão para a população brasileira nos anos 1990 e 2000.
Informações dadas (peguei estes valores da tabela do enunciado):
- População em 1940:
. - População em 1950:
. - População em 1960:
. - População em 1970:
. - População em 1980:
.
Observação sobre o índice de tempo
usado na tabela:
- Na tabela
conta o número de décadas desde 1940, ou seja: - 1940 corresponde a
, - 1950 corresponde a
, - 1960 corresponde a
, - 1970 corresponde a
, - 1980 corresponde a
.
- 1940 corresponde a
Passo 2
Modelo adotado e significado das variáveis (aulas rápidas e levinhas):
- Modelo de crescimento exponencial por década:
onde: -
é a população no tempo (em décadas) , -
é a população no tempo inicial (aqui é a população de 1940), -
é o fator de crescimento por década (ou seja, multiplica a população a cada década), -
é o número de décadas passadas desde 1940.
-
Explicação curta do porquê usar esse modelo:
- Se a razão entre populações em décadas consecutivas é aproximadamente constante, então cada década a população é obtida multiplicando a anterior por um mesmo fator
. Esse comportamento é descrito precisamente por .
Passo 3
Como estimar o fator
usando todos os dados disponíveis (método estável):
- Se há 4 intervalos de década entre 1940 e 1980, o produto dos fatores em cada intervalo vale
Portanto uma estimativa natural e justa para (usando todos os dados de 1940 a 1980) é a raiz quarta: - Motivo didático: isso equivale à média geométrica das razões década a década, que é a forma correta de “médias” quando se trabalha com multiplicação/fatores.
Passo 4
Cálculo do fator
usando os valores da tabela (aqui peguei
e
da tabela):
- Calcular a razão total:
- Portanto
Observação prática: , então Arredondando para maior clareza, usarei (isto é, a cada década a população cresce em aproximadamente ).
Passo 5
Previsão para 1990 (que corresponde a
, pois 1990 é 5 décadas depois de 1940):
- Usando
com e , ou mais simplesmente usando : - Substituindo
: Ou seja, previsão: aproximadamente pessoas (arredondando ao número inteiro mais próximo).
Passo 6
Previsão para 2000 (que corresponde a
):
- Podemos usar
. Note que implica (como já observamos). - Portanto:
Previsão: aproximadamente pessoas (arredondando ao inteiro mais próximo).
Passo 7
Interpretação final e observações rápidas (amigo solidário):
- O procedimento usado é razoável quando o crescimento é aproximadamente exponencial e queremos uma previsão baseada em várias observações (usamos as 4 décadas juntas, o que suaviza flutuações de uma única década).
- Claro que previsões reais podem variar por políticas, migrações, saúde etc., mas este é o método padrão simples para previsão exponencial baseada em dados históricos.
Resposta
1990:
2000: