Uma empresa desconta do salário anual de seus funcionários certa porcentagem para um plano de previdência privada. O desconto é de p% sobre 30.000,00 de renda anual, mais (p + 2) sobre o montante anual do salário que excede R$ 30.000,00. João teve desconto total de (p + 0,25)% do seu salário anual para o plano de previdência privada. O salário anual de João em reais sem o desconto do plano de previdência é.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de matemática sobre porcentagens e descontos no salário. A empresa de João tira uma certa porcentagem do salário dele para um plano de previdência privada. A gente precisa descobrir qual é o salário anual do João antes desse desconto. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender como as porcentagens estão sendo aplicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja $ S $ o salário anual de João sem o desconto.
- A porcentagem padrão de desconto é $ p% $.
Segundo o enunciado, o desconto funciona assim:
- $ p% $ sobre os primeiros R$30.000,00 do salário.
- $ (p + 2)% $ sobre o que exceder R$30.000,00.
Além disso, sabemos que o desconto total foi de $ (p + 0,25)% $ do salário total.
Passo 3
Vamos traduzir isso em uma equação matemática. O desconto total pode ser calculado da seguinte forma:
E sabemos que:
Passo 4
Agora, igualamos as duas expressões para o desconto total:
Vamos converter as porcentagens em decimais para facilitar os cálculos:
Passo 5
Simplificando a equação, multiplicando tudo por 100 para eliminar os denominadores:
Distribuindo os termos:
Passo 6
Perceba que $ 30.000p $ e $ -30.000p $ se cancelam:
Agora, vamos isolar $ S $:
Passo 7
Finalmente, resolvendo para $ S $:
Resposta
O salário anual de João, sem o desconto do plano de previdência, é de R$34.285,71.