Uma empresa de engenharia civil está analisando a qualidade de blocos de concreto produzidos em uma fábrica. Em um lote há:
  • 12 blocos sem defeitos;
  • 5 blocos com pequenas fissuras;
  • 3 blocos com defeitos graves.
Um engenheiro seleciona, ao acaso e sem reposição, 4 blocos desse lote para inspeção. Determine a probabilidade de que:
nenhum bloco apresente defeito grave;

Passo 1

O enunciado dá a composição do lote e pede a probabilidade de que, ao selecionar 4 blocos ao acaso sem reposição, nenhum bloco apresente defeito grave.
Informações fornecidas:
  • 12 blocos sem defeitos;
  • 5 blocos com pequenas fissuras;
  • 3 blocos com defeitos graves.
Pergunta a responder:
  • Qual a probabilidade de que nenhum dos 4 blocos selecionados apresente defeito grave?
Observação imediata: o total de blocos no lote é 12+5+3=20. O evento buscado é “nenhum defeito grave”, ou seja, todos os 4 blocos escolhidos vêm do subconjunto de blocos que não têm defeito grave (que totaliza 12+5=17 blocos).

Passo 2

Estratégia (explicação didática):
Uma maneira direta de pensar nisso é contar quantas escolhas possíveis de 4 blocos existem no total e quantas escolhas favoráveis não contêm blocos com defeito grave. Como aqui a seleção é ao acaso e sem reposição, todas as subcoleções de 4 blocos são igualmente prováveis. Assim a probabilidade é
\text{Probabilidade}=\frac{\text{número de escolhas favoráveis}}{\text{número total de escolhas}}.úáú
Para contar escolhas sem ordem usamos combinações. A fórmula da combinação é:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto com n elementos, sem importar a ordem, e n! (fatorial) é o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.
Aqui:
  • número total de escolhas de 4 blocos dentre 20 é \binom{20}{4};
  • número de escolhas favoráveis (escolher 4 blocos dentre os 17 que não têm defeito grave) é \binom{17}{4}.

Passo 3

Calcular \binom{17}{4}.
Usando a definição:
\binom{17}{4}=\frac{17\cdot16\cdot15\cdot14}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Fazendo as contas passo a passo:
17\cdot16=272,\qquad 272\cdot15=4080,\qquad 4080\cdot14=57120,
4\cdot3\cdot2\cdot1=24,
\binom{17}{4}=\frac{57120}{24}=2380.

Passo 4

Calcular \binom{20}{4}.
\binom{20}{4}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Passo a passo:
20\cdot19=380,\qquad 380\cdot18=6840,\qquad 6840\cdot17=116280,
4\cdot3\cdot2\cdot1=24,
\binom{20}{4}=\frac{116280}{24}=4845.

Passo 5

Calcular a probabilidade como razão das combinações.
\text{Probabilidade}=\frac{\binom{17}{4}}{\binom{20}{4}}=\frac{2380}{4845}.
Simplificando a fração: 2380 e 4845 têm máximo divisor comum 85 (pois 4845-2\cdot2380=85 e 2380=85\cdot28). Dividindo ambos por 85:
\frac{2380}{4845}=\frac{28}{57}.

Passo 6

Verificação alternativa (método multiplicativo sequencial, que dá a mesma resposta — útil para provas):
Probabilidade de, na primeira escolha, tirar um bloco não grave é \dfrac{17}{20}.
Depois, sem reposição, probabilidade de a segunda também ser não grave é \dfrac{16}{19}.
Terceira: \dfrac{15}{18}. Quarta: \dfrac{14}{17}.
Multiplicando:
\frac{17}{20}\cdot\frac{16}{19}\cdot\frac{15}{18}\cdot\frac{14}{17} = \frac{16\cdot15\cdot14}{20\cdot19\cdot18}
(se cancelou o 17), e avaliando essa expressão obtém-se exatamente \dfrac{2380}{4845}=\dfrac{28}{57}. Bom sinal: dois métodos diferentes, mesma resposta — confiança reforçada!

Passo 7

Valor decimal e interpretação final.
Convertendo \dfrac{28}{57} para decimal:
\frac{28}{57}\approx 0,4912,
ou seja, aproximadamente 49{,}12\% de chance de que nenhum dos 4 blocos selecionados apresente defeito grave.
Força aí — é um resultado razoavelmente intuitivo (cerca de metade das seleções saem sem bloco grave), e agora já tens duas formas de resolver: por combinações (mais direta) e por produto de probabilidades condicionais (mais construtiva).

Resposta

\dfrac{28}{57}\approx 0,4912

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