Uma empresa de engenharia civil está analisando a qualidade de blocos de concreto produzidos em uma fábrica. Em um lote há:
- 12 blocos sem defeitos;
- 5 blocos com pequenas fissuras;
- 3 blocos com defeitos graves.
Um engenheiro seleciona, ao acaso e sem reposição, 4 blocos desse lote para inspeção. Determine a probabilidade de que:
nenhum bloco apresente defeito grave;
nenhum bloco apresente defeito grave;
Passo 1
O enunciado dá a composição do lote e pede a probabilidade de que, ao selecionar 4 blocos ao acaso sem reposição, nenhum bloco apresente defeito grave.
Informações fornecidas:
-
blocos sem defeitos; -
blocos com pequenas fissuras; -
blocos com defeitos graves.
Pergunta a responder:
- Qual a probabilidade de que nenhum dos 4 blocos selecionados apresente defeito grave?
Observação imediata: o total de blocos no lote é
. O evento buscado é “nenhum defeito grave”, ou seja, todos os 4 blocos escolhidos vêm do subconjunto de blocos que não têm defeito grave (que totaliza
blocos).
Passo 2
Estratégia (explicação didática):
Uma maneira direta de pensar nisso é contar quantas escolhas possíveis de 4 blocos existem no total e quantas escolhas favoráveis não contêm blocos com defeito grave. Como aqui a seleção é ao acaso e sem reposição, todas as subcoleções de 4 blocos são igualmente prováveis. Assim a probabilidade é
Uma maneira direta de pensar nisso é contar quantas escolhas possíveis de 4 blocos existem no total e quantas escolhas favoráveis não contêm blocos com defeito grave. Como aqui a seleção é ao acaso e sem reposição, todas as subcoleções de 4 blocos são igualmente prováveis. Assim a probabilidade é
Para contar escolhas sem ordem usamos combinações. A fórmula da combinação é:
onde
é o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto com
elementos, sem importar a ordem, e
(fatorial) é o produto
.
Aqui:
- número total de escolhas de 4 blocos dentre 20 é
; - número de escolhas favoráveis (escolher 4 blocos dentre os 17 que não têm defeito grave) é
.
Passo 3
Calcular
.
Usando a definição:
Fazendo as contas passo a passo:
Passo 4
Calcular
.
Passo a passo:
Passo 5
Calcular a probabilidade como razão das combinações.
Simplificando a fração:
e
têm máximo divisor comum
(pois
e
). Dividindo ambos por
:
Passo 6
Verificação alternativa (método multiplicativo sequencial, que dá a mesma resposta — útil para provas):
Probabilidade de, na primeira escolha, tirar um bloco não grave é .
Depois, sem reposição, probabilidade de a segunda também ser não grave é .
Terceira: . Quarta:
.
Multiplicando:
Probabilidade de, na primeira escolha, tirar um bloco não grave é
Depois, sem reposição, probabilidade de a segunda também ser não grave é
Terceira:
Multiplicando:
(se cancelou o
), e avaliando essa expressão obtém-se exatamente
. Bom sinal: dois métodos diferentes, mesma resposta — confiança reforçada!
Passo 7
Valor decimal e interpretação final.
Convertendo
para decimal:
ou seja, aproximadamente
de chance de que nenhum dos 4 blocos selecionados apresente defeito grave.
Força aí — é um resultado razoavelmente intuitivo (cerca de metade das seleções saem sem bloco grave), e agora já tens duas formas de resolver: por combinações (mais direta) e por produto de probabilidades condicionais (mais construtiva).