Numa empresa de entregas, é analisado o desempenho diário dos seus distribuidores. Para cada dia, é registado quantos pacotes conseguem entregar a tempo (antes da hora limite estabelecida).
Seja X a variável aleatória que representa esse número de pacotes que consegue entregar a tempo. A partir de dados históricos, foi estimada a seguinte função massa de probabilidade (fmp) de X:
x 0 1 2 3 4 5
p(x) 0.1 0.2 0.3 0.25 0.05 0.1
Com base nesta informação, responda:
Calcule o desvio-padrão de X.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o desvio-padrão da variável aleatória X, sendo dada a função massa de probabilidade (fmp). As informações fornecidas (peguei os valores da tabela do enunciado) são:
\begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline p(x) & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,25 & 0,05 & 0,1 \end{array}

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a esperança (valor esperado) de uma variável aleatória discreta. A esperança \mathbb{E}[X] é a soma dos valores possíveis de X ponderados pelas suas probabilidades:
\mathbb{E}[X]=\sum_{x} x\,p(x),
onde x percorre todos os valores possíveis da variável e p(x) é a probabilidade correspondente. Aqui cada termo x\,p(x) representa a contribuição média daquele valor para o total. Agora calculamos \mathbb{E}[X] usando a tabela.

Passo 3

Calculemos \mathbb{E}[X] termo a termo:
\begin{aligned} 0\cdot 0,1 &= 0,\\\\ 1\cdot 0,2 &= 0,2,\\\\ 2\cdot 0,3 &= 0,6,\\\\ 3\cdot 0,25 &= 0,75,\\\\ 4\cdot 0,05 &= 0,2,\\\\ 5\cdot 0,1 &= 0,5. \end{aligned}
Somando:
\mathbb{E}[X]=0+0,2+0,6+0,75+0,2+0,5=2,25.

Passo 4

Agora a variância. A variância pode ser calculada de duas formas equivalentes; uma prática é usar
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^{2},
onde \mathbb{E}[X^{2}]=\sum_{x} x^{2}p(x). Vou calcular \mathbb{E}[X^{2}] usando a tabela (aqui usei os mesmos p(x) da tabela do enunciado).

Passo 5

Calculemos \mathbb{E}[X^{2}] termo a termo:
\begin{aligned} 0^{2}\cdot 0,1 &= 0,\\\\ 1^{2}\cdot 0,2 &= 0,2,\\\\ 2^{2}\cdot 0,3 &= 4\cdot 0,3 = 1,2,\\\\ 3^{2}\cdot 0,25 &= 9\cdot 0,25 = 2,25,\\\\ 4^{2}\cdot 0,05 &= 16\cdot 0,05 = 0,8,\\\\ 5^{2}\cdot 0,1 &= 25\cdot 0,1 = 2,5. \end{aligned}
Somando:
\mathbb{E}[X^{2}]=0+0,2+1,2+2,25+0,8+2,5=6,95.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da variância:
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^{2}=6,95-(2,25)^{2}.
Calculemos (2,25)^{2}:
(2,25)^{2}=5,0625.
Portanto
\operatorname{Var}(X)=6,95-5,0625=1,8875.

Passo 7

Finalmente, o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{1,8875}.
Aproximando a raiz quadrada (método numérico/iteração ou calculadora), obtemos
\sigma_X\approx 1,374.

Resposta

1,374

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