Numa empresa de entregas, é analisado o desempenho diário dos seus distribuidores. Para cada dia, é registado quantos pacotes conseguem entregar a tempo (antes da hora limite estabelecida).
Seja X a variável aleatória que representa esse número de pacotes que consegue entregar a tempo. A partir de dados históricos, foi estimada a seguinte função massa de probabilidade (fmp) de X:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| p(x) | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.25 | 0.05 | 0.1 |
Com base nesta informação, responda:
Calcule o desvio-padrão de X.
Calcule o desvio-padrão de X.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o desvio-padrão da variável aleatória
, sendo dada a função massa de probabilidade (fmp). As informações fornecidas (peguei os valores da tabela do enunciado) são:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a esperança (valor esperado) de uma variável aleatória discreta. A esperança
é a soma dos valores possíveis de
ponderados pelas suas probabilidades:
onde
percorre todos os valores possíveis da variável e
é a probabilidade correspondente. Aqui cada termo
representa a contribuição média daquele valor para o total. Agora calculamos
usando a tabela.
Passo 3
Calculemos
termo a termo:
Somando:
Passo 4
Agora a variância. A variância pode ser calculada de duas formas equivalentes; uma prática é usar
onde
. Vou calcular
usando a tabela (aqui usei os mesmos
da tabela do enunciado).
Passo 5
Calculemos
termo a termo:
Somando:
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da variância:
Calculemos
:
Portanto
Passo 7
Finalmente, o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
Aproximando a raiz quadrada (método numérico/iteração ou calculadora), obtemos