Numa empresa de entregas, é analisado o desempenho diário dos seus distribuidores. Para cada dia, é registado quantos pacotes conseguem entregar a tempo (antes da hora limite estabelecida).
Seja X a variável aleatória que representa esse número de pacotes que consegue entregar a tempo. A partir de dados históricos, foi estimada a seguinte função massa de probabilidade (fmp) de X:
x 0 1 2 3 4 5
p(x) 0.1 0.2 0.3 0.25 0.05 0.1
Com base nesta informação, responda:
Calcule o valor esperado \mathrm{E}(\mathrm{X}).

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor esperado \mathrm{E}(X) da variável aleatória X, que representa o número de pacotes entregues a tempo por dia.
Informações dadas (tirei os dados da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline p(x) & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,25 & 0,05 & 0,1 \end{array}
Verificação rápida (opcional, mas reconfortante): as probabilidades somam
0,1+0,2+0,3+0,25+0,05+0,1 = 1.

Passo 2

Definição e interpretação do valor esperado (a “aula” rápida e simpática):
O valor esperado de uma variável discreta X é a média ponderada dos valores possíveis de X, onde cada valor é pesado pela sua probabilidade. Em fórmulas:
\mathrm{E}(X)=\sum_{x} x\,p(x).
Aqui:
  • x são os valores possíveis da variável (número de pacotes: 0,1,2,3,4,5);
  • p(x) é a probabilidade associada a cada x (dada na tabela).
    Intuitivamente, \mathrm{E}(X) nos diz quantos pacotes, em média, espera-se que sejam entregues a tempo por dia no longo prazo.

Passo 3

Calcular cada termo da soma \sum x\,p(x). Vou multiplicar cada x pela sua p(x) e mostrar o resultado:
\begin{aligned} 0\cdot 0,1 &= 0,\\\\ 1\cdot 0,2 &= 0,2,\\\\ 2\cdot 0,3 &= 0,6,\\\\ 3\cdot 0,25 &= 0,75,\\\\ 4\cdot 0,05 &= 0,20,\\\\ 5\cdot 0,1 &= 0,5. \end{aligned}

Passo 4

Somar todos os termos encontrados para obter \mathrm{E}(X):
\mathrm{E}(X)=0+0,2+0,6+0,75+0,20+0,5.
Agora a adição passo a passo:
0,2+0,6=0,8,
0,8+0,75=1,55,
1,55+0,20=1,75,
1,75+0,5=2,25.

Passo 5

Interpretação final rápida: \mathrm{E}(X)=2,25 significa que, em média (no longo prazo), espera-se que sejam entregues a tempo 2,25 pacotes por dia. Pode parecer um número “não inteiro”, mas é a média ponderada — é perfeitamente normal.

Resposta

2,25

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