Um pequeno entregador pode transporta madeira ou frutas em seu carrinho de mão, mas cobra $ 20 para cada fardo de madeira e 20 para cada fardo de madeira e para cada saco de frutas. Os fardos pesam 1 kg e ocupam 35. Os sacos de frutas pesam 1 kg e ocupam 2 dm^3. O carrinho tem capacidade para transportar 12 kg e 3 dm^3. Qual o lucro máximo?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede.
Conteúdo: problema de otimização com restrições (é um caso simples de “mochila” / programação linear inteira).
O que temos:
  • Um carrinho que leva no máximo 12 kg e 10 dm³.
  • Cada fardo de madeira (x) pesa 1 kg, ocupa 2 dm³ e rende R$ 20.
  • Cada saco de frutas (y) pesa 1 kg, ocupa 3 dm³ e rende R$ 35.
    Queremos descobrir quantos de cada (x e y) levar pra ter o lucro máximo, lembrando que x e y são números inteiros (você não pode levar meio saco).

Passo 2

Definindo variáveis e montando as restrições:
x = número de fardos de madeira
y = número de sacos de frutas
Restrições:
  1. Peso:
x + y <= 12
  1. Volume:
2x + 3y <= 10
  1. Não-negatividade e integralidade:
x >= 0, y >= 0, x,y in Z
Função lucro a maximizar:
L = 20x + 35y

Passo 3

Vamos olhar primeiro o espaço real (se permitíssemos frações) e achar os vértices da região viável:
Intersecção com eixos:
  • Se y=0, a restrição de volume dá .
  • Se x=0, a restrição de volume dá .
A restrição de peso só aparece forte para valores maiores, mas 5+0=5<12 e 0+3{,}33<12, então os cantos “reais” são:
(0,0), (5,0), (0,10/3).
Para cada vértice, o lucro seria:
  • (0,0):
  • (5,0):
  • (0,10/3):
Isso sugere que fracionado daria ~116,67, mas como precisamos de x,y inteiros, vamos testar combinações inteiras “próximas”.

Passo 4

Testando combinações inteiras que satisfaçam as duas restrições exatamente ou abaixo:
  1. x=5, y=0 → peso 5, volume 10 → lucro = 100
  2. x=4, y=1 → peso 5, volume (inválido)
  3. x=3, y=1 → peso 4, volume → lucro =
  4. x=2, y=2 → peso 4, volume → lucro =
  5. x=1, y=3 → peso 4, volume (inválido)
  6. x=0, y=3 → peso 3, volume 9 → lucro =
Só sobram aí as válidas e a melhor delas é x=2, y=2, que dá lucro de 110.

Resposta

O lucro máximo é R$ 110, obtido levando 2 fardos de madeira e 2 sacos de frutas.

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