Um pequeno entregador pode transporta madeira ou frutas em seu carrinho de mão, mas cobra $ 20 para cada fardo de madeira e
para cada saco de frutas. Os fardos pesam 1 kg e ocupam
. Os sacos de frutas pesam 1 kg e ocupam
. O carrinho tem capacidade para transportar 12 kg e
. Qual o lucro máximo?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede.
Conteúdo: problema de otimização com restrições (é um caso simples de “mochila” / programação linear inteira).
O que temos:
Conteúdo: problema de otimização com restrições (é um caso simples de “mochila” / programação linear inteira).
O que temos:
- Um carrinho que leva no máximo 12 kg e 10 dm³.
- Cada fardo de madeira (x) pesa 1 kg, ocupa 2 dm³ e rende R$ 20.
- Cada saco de frutas (y) pesa 1 kg, ocupa 3 dm³ e rende R$ 35.
Queremos descobrir quantos de cada (x e y) levar pra ter o lucro máximo, lembrando que x e y são números inteiros (você não pode levar meio saco).
Passo 2
Definindo variáveis e montando as restrições:
x = número de fardos de madeira
y = número de sacos de frutas
x = número de fardos de madeira
y = número de sacos de frutas
Restrições:
- Peso:
- Volume:
- Não-negatividade e integralidade:
Função lucro a maximizar:
Passo 3
Vamos olhar primeiro o espaço real (se permitíssemos frações) e achar os vértices da região viável:
Intersecção com eixos:
- Se y=0, a restrição de volume dá
⇒ . - Se x=0, a restrição de volume dá
⇒ .
A restrição de peso
só aparece forte para valores maiores, mas 5+0=5<12 e 0+3{,}33<12, então os cantos “reais” são:
(0,0), (5,0), (0,10/3).
(0,0), (5,0), (0,10/3).
Para cada vértice, o lucro seria:
- (0,0):
- (5,0):
- (0,10/3):
Isso sugere que fracionado daria ~116,67, mas como precisamos de x,y inteiros, vamos testar combinações inteiras “próximas”.
Passo 4
Testando combinações inteiras que satisfaçam as duas restrições exatamente ou abaixo:
- x=5, y=0 → peso 5, volume 10 → lucro = 100
- x=4, y=1 → peso 5, volume
(inválido) - x=3, y=1 → peso 4, volume
→ lucro = - x=2, y=2 → peso 4, volume
→ lucro = - x=1, y=3 → peso 4, volume
(inválido) - x=0, y=3 → peso 3, volume 9 → lucro =
Só sobram aí as válidas e a melhor delas é x=2, y=2, que dá lucro de 110.
Resposta
O lucro máximo é R$ 110, obtido levando 2 fardos de madeira e 2 sacos de frutas.