Uma empresa fornecedora de concreto usinado moldou e, após 15 dias de cura úmida, ensaiou dez corpos de prova com o traço T1, obtendo as seguintes resistências de ruptura (MPa): 16.025; 16.175; 16.125 ; 16.150 ; 16.125 ; 16.075 ; 16.150 ; 16.200 ; 16.050 ; 16.075. Com um outro traço, T2, promoveu do mesmo modo e ensaio 7 corpos de prova obtendo as seguintes resistências de ruptura: 18.30; 16.16; 16.38; 16.09; 15.06; 17.99; 16.19. Construa os seguintes intervalos de confiança para a diferença ( \mu_{1}-\mu_{2} ) sob os níveis de confiança (1-\alpha) pedidos e discuta os resultados de cada um desses intervalos:
  • intervalo bilateral sob (1-\alpha)=0.95;
  • intervalo unilateral limitado por um máximo sob (1-\alpha)=0.95;
  • intervalo unilateral limitado por um mínimo sob (1-\alpha)=0.90;
  • para cada um dos três intervalos acima escreva detalhadamente o que significam.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede.
  • Dados do traço T1 (dez medidas de resistência em MPa): 16{,}025;\;16{,}175;\;16{,}125;\;16{,}150;\;16{,}125;\;16{,}075;\;16{,}150;\;16{,}200;\;16{,}050;\;16{,}075.
  • Dados do traço T2 (sete medidas de resistência em MPa): 18{,}30;\;16{,}16;\;16{,}38;\;16{,}09;\;15{,}06;\;17{,}99;\;16{,}19.
O enunciado pede que se construa intervalos de confiança para a diferença \mu_{1}-\mu_{2} (média do T1 menos média do T2) nos seguintes casos:
  1. intervalo bilateral com nível de confiança (1-\alpha)=0{,}95;
  2. intervalo unilateral limitado por um máximo (ou seja, limite superior) com (1-\alpha)=0{,}95;
  3. intervalo unilateral limitado por um mínimo (ou seja, limite inferior) com (1-\alpha)=0{,}90.
Também pede que se discuta o significado de cada intervalo. A partir daqui eu vou calcular passo a passo as estatísticas amostrais, escolher o método adequado e construir os intervalos.

Passo 2

Calcular as estatísticas amostrais da amostra T1 (tamanho n_1) — vou mostrar as fórmulas e aplicar aos números.
  • Tamanho: n_1=10.
  • Média amostral: a fórmula é
\bar{x}_1=\frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1} x_{1i}.
Somando os valores de T1 obtém-se \sum x_{1i}=161{,}15, logo
\bar{x}_1=\frac{161{,}15}{10}=16{,}115\\ \text{MPa}.
  • Variância amostral (não viesada): a fórmula é
s_1^{2}=\frac{1}{n_1-1}\sum_{i=1}^{n_1}(x_{1i}-\bar{x}_1)^{2}.
Calculando as diferenças ao quadrado e somando (detalhes numéricos já feitos), obtém-se \sum (x_{1i}-\bar{x}_1)^{2}=0{,}029. Portanto
s_1^{2}=\frac{0{,}029}{9}=0{,}0032222222\\ \text{(MPa)}^{2},
e o desvio-padrão amostral é
s_1=\sqrt{s_1^{2}}\approx 0{,}0568\\ \text{MPa}.

Passo 3

Calcular as estatísticas amostrais da amostra T2 (tamanho n_2).
  • Tamanho: n_2=7.
  • Média amostral:
\bar{x}_2=\frac{1}{n_2}\sum_{j=1}^{n_2} x_{2j}=\frac{116{,}17}{7}=16{,}5957142857\\ \text{MPa}.
  • Variância amostral:
s_2^{2}=\frac{1}{n_2-1}\sum_{j=1}^{n_2}(x_{2j}-\bar{x}_2)^{2}.
Somando os quadrados das diferenças obtém-se \sum (x_{2j}-\bar{x}_2)^{2}\approx 7{,}86384449. Portanto
s_2^{2}=\frac{7{,}86384449}{6}\approx 1{,}3106407483\\ \text{(MPa)}^{2},
e
s_2\approx 1{,}1444\\ \text{MPa}.
Observação: a variância de T2 é muito maior que a de T1 ( s_2^{2}\approx 1{,}31 contra s_1^{2}\approx 0{,}00322 ), indicando dispersão muito maior em T2 (há valores bem afastados em T2).

Passo 4

Escolha do método (motivação e fórmula a usar).
  • Quando as variâncias amostrais são bastante diferentes e/ou os tamanhos são pequenos, o método mais apropriado para intervalos de confiança da diferença \mu_1-\mu_2 é o procedimento de Welch (t two-sample with unequal variances). Ele não assume variâncias iguais e usa uma aproximação para os graus de liberdade.
  • Fórmula geral para o estimador e erro padrão (Welch):
\hat{\delta}=\bar{x}_1-\bar{x}_2, \qquad \text{SE}=\sqrt{\frac{s_1^{2}}{n_1}+\frac{s_2^{2}}{n_2}}.
  • Graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch–Satterthwaite):
\nu \approx \frac{\left(\dfrac{s_1^{2}}{n_1}+\dfrac{s_2^{2}}{n_2}\right)^{2}} {\dfrac{(s_1^{2}/n_1)^{2}}{n_1-1}+\dfrac{(s_2^{2}/n_2)^{2}}{n_2-1}}.
Aqui \hat{\delta} é a diferença das médias amostrais, \text{SE} é o erro padrão da diferença, s_1^{2},s_2^{2} são as variâncias amostrais e n_1,n_2 os tamanhos amostrais.

Passo 5

Calcular \hat{\delta}, \text{SE} e os graus de liberdade \nu numericamente.
  • Diferença pontual:
\hat{\delta}=\bar{x}_1-\bar{x}_2=16{,}115-16{,}5957142857=-0{,}4807142857\\ \text{MPa}.
  • Erro padrão:
\frac{s_1^{2}}{n_1}=\frac{0{,}0032222222}{10}=0{,}00032222222, \qquad \frac{s_2^{2}}{n_2}=\frac{1{,}3106407483}{7}\approx 0{,}1872343926.
\text{SE}=\sqrt{0{,}00032222222+0{,}1872343926}=\sqrt{0{,}1875566148}\approx 0{,}433128736.
  • Graus de liberdade (Welch):
    Calcular numerador e denominador da fórmula:
\text{num}=\left(\frac{s_1^{2}}{n_1}+\frac{s_2^{2}}{n_2}\right)^{2}\approx (0{,}1875566148)^{2}\approx 0{,}03517.
\text{den}=\frac{(s_1^{2}/n_1)^{2}}{n_1-1}+\frac{(s_2^{2}/n_2)^{2}}{n_2-1} \approx\frac{(0{,}00032222222)^{2}}{9}+\frac{(0{,}1872343926)^{2}}{6}\approx 1{,}15\times 10^{-8}+0{,}0058432\approx 0{,}0058432.
\nu\approx\frac{0{,}03517}{0{,}0058432}\approx 6{,}02.
Logo usaremos aproximadamente \nu\approx 6{,}0 graus de liberdade para obter os quantis da t-Student.

Passo 6

Construir o intervalo bilateral com nível de confiança (1-\alpha)=0{,}95.
  • Para um intervalo bilateral de 95% usamos o quantil t_{\nu,\,1-\alpha/2}=t_{6{,}02,\,0{,}975}. Com \nu\approx 6 temos t_{6,\,0{,}975}\approx 2{,}4469.
  • Margem de erro:
\text{ME}=t_{6,\,0{,}975}\cdot\text{SE}\approx 2{,}4469\times 0{,}433128736\approx 1{,}059119.
  • Intervalo bilateral:
\hat{\delta}\pm\text{ME}=-0{,}480714\pm 1{,}059119,
ou seja
\bigl(-1{,}539833,\;0{,}578405\bigr)\\ \text{MPa}.

Passo 7

Construir o intervalo unilateral limitado por um máximo (limite superior) com (1-\alpha)=0{,}95.
  • Para um intervalo unilateral superior de 95% usamos o quantil t_{\nu,\,1-\alpha}=t_{6{,}02,\,0{,}95}. Com \nu\approx 6 temos t_{6,\,0{,}95}\approx 1{,}94318.
  • A bound superior é
U=\hat{\delta}+t_{6,\,0{,}95}\cdot\text{SE}\approx -0{,}480714+1{,}94318\times 0{,}433128736\approx -0{,}480714+0{,}841562\approx 0{,}360848.
  • O intervalo unilateral (inferior não limitado) é
(-\infty,\;0{,}360848]\\ \text{MPa}.

Passo 8

Construir o intervalo unilateral limitado por um mínimo (limite inferior) com (1-\alpha)=0{,}90.
  • Aqui (1-\alpha)=0{,}90 implica \alpha=0{,}10 e usamos t_{\nu,\,1-\alpha}=t_{6{,}02,\,0{,}90}. Com \nu\approx 6 temos t_{6,\,0{,}90}\approx 1{,}4398.
  • O bound inferior é
L=\hat{\delta}-t_{6,\,0{,}90}\cdot\text{SE}\approx -0{,}480714-1{,}4398\times 0{,}433128736\approx -0{,}480714-0{,}623030\approx -1{,}103744.
  • O intervalo unilateral (superior não limitado) é
[-1{,}103744,\;+\infty)\\ \text{MPa}.

Passo 9

Explicação didática e interpretação detalhada do que cada intervalo significa (foco em interpretação correta de intervalo de confiança).
  • Primeiro, o conceito-chave: um intervalo de confiança com nível (1-\alpha) é um procedimento que, repetido muitas vezes em amostras iguais, produziria intervalos que contêm o valor verdadeiro do parâmetro em (1-\alpha) das repetições. Não se deve dizer que “há probabilidade (1-\alpha) de que o parâmetro esteja no intervalo obtido” — o parâmetro é fixo e o intervalo é aleatório. Em termos práticos, confiamos no procedimento: "estamos construindo o intervalo de forma que em 95% das amostras semelhantes ele capture o verdadeiro \mu_1-\mu_2".
  • Interpretação do intervalo bilateral de 95%:
    • O intervalo \bigl(-1{,}5398,\;0{,}5784\bigr) significa: usando o método (Welch) e com nível de confiança 95%, o procedimento fornece um intervalo que, em média (ao longo de repetições), conterá o verdadeiro valor \mu_1-\mu_2 em 95% dos casos. Com os números obtidos, o intervalo específico indica que a diferença verdadeira pode estar entre aproximadamente -1{,}54 e 0{,}58 MPa.
    • Como o intervalo inclui 0, não há evidência estatística, ao nível de 5%, de que \mu_1 seja diferente de \mu_2. Em outras palavras, embora a média amostral do T1 seja menor que a do T2 (diferença amostral \approx -0{,}48), a incerteza (especialmente por causa da alta variabilidade em T2) é grande o suficiente para que zero ainda seja compatível com os dados.
  • Interpretação do intervalo unilateral superior de 95%:
    • O intervalo (-\infty,\;0{,}3608] significa: com o procedimento empregado, temos 95% de confiança de que o verdadeiro \mu_1-\mu_2 é menor ou igual a 0{,}3608 MPa. Em linguagem prática: não se pode garantir que \mu_1 seja menor que \mu_2; tudo que se consegue afirmar com 95% de confiança é que \mu_1-\mu_2 não excede 0{,}3608 MPa.
    • Se o objetivo fosse provar que \mu_1<\mu_2, seria necessário que esse limite superior fosse negativo; como 0{,}3608>0, tal conclusão não é suportada ao nível de 5%.
  • Interpretação do intervalo unilateral inferior de 90%:
    • O intervalo [-1{,}1037,\;+\infty) significa: com 90% de confiança, o verdadeiro \mu_1-\mu_2 é maior ou igual a -1{,}1037 MPa. Em termos práticos: \mu_1 não é menor que \mu_2 por mais de aproximadamente 1{,}1037 MPa, com confiança 90%.
    • Novamente, como o limite inferior é negativo, não se pode afirmar que \mu_1>\mu_2; apenas se tem um limite inferior para a diferença com 90% de confiança.

Passo 10

Discussão final e recomendações práticas (o que os números nos dizem e cuidados a ter).
  • Conclusão estatística principal: os intervalos mostram que não há evidência suficiente (ao nível usual de 5%) para afirmar que as médias de resistência de ruptura dos traços T1 e T2 são diferentes — o intervalo bilateral de 95% contém zero.
  • Motivo principal da incerteza: a amostra de T2 tem variabilidade muito grande ( s_2\approx 1{,}144 ) enquanto T1 é muito homogênea ( s_1\approx 0{,}0568 ). Essa grande dispersão em T2 alarga o erro padrão e, portanto, os intervalos de confiança.
  • Observação prática: convém revisar os dados de T2 (possíveis erros de medição, corpos de prova defeituosos ou outliers como 18{,}30 e 15{,}06). Se esses valores forem erros ou casos especiais, a análise deve ser refeita sem eles ou usando métodos robustos.
  • Se for importante obter uma conclusão mais precisa na prova ou em aplicação prática, recomenda-se aumentar o tamanho amostral, especialmente para T2, para reduzir o erro padrão e obter intervalos mais estreitos.
  • Encorajamento: a diferença média amostral \hat{\delta}\approx -0{,}48 indica que T2, na amostra, apresentou média maior que T1, mas a incerteza impede afirmar isso com confiança estatística forte. Em prova, explique claramente que a largura dos intervalos é dominada pela variação de T2 — isso demonstra entendimento do porquê dos resultados.

Resposta

\bigl(-1{,}539833,\;0{,}578405\bigr)\\ \text{MPa}
(-\infty,\;0{,}360848]\\ \text{MPa}
[-1{,}103744,\;+\infty)\\ \text{MPa}

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