Uma empresa fornecedora de concreto usinado moldou e, após 15 dias de cura úmida, ensaiou dez corpos de prova com o traço T1, obtendo as seguintes resistências de ruptura (MPa): 16.025; 16.175;
. Com um outro traço, T2, promoveu do mesmo modo e ensaio 7 corpos de prova obtendo as seguintes resistências de ruptura: 18.30; 16.16; 16.38; 16.09; 15.06; 17.99; 16.19. Construa os seguintes intervalos de confiança para a diferença (
) sob os níveis de confiança
pedidos e discuta os resultados de cada um desses intervalos:
- intervalo bilateral sob
;
- intervalo unilateral limitado por um máximo sob
;
- intervalo unilateral limitado por um mínimo sob
;
- para cada um dos três intervalos acima escreva detalhadamente o que significam.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede.
- Dados do traço T1 (dez medidas de resistência em MPa):
. - Dados do traço T2 (sete medidas de resistência em MPa):
.
O enunciado pede que se construa intervalos de confiança para a diferença
(média do T1 menos média do T2) nos seguintes casos:
- intervalo bilateral com nível de confiança
; - intervalo unilateral limitado por um máximo (ou seja, limite superior) com
; - intervalo unilateral limitado por um mínimo (ou seja, limite inferior) com
.
Também pede que se discuta o significado de cada intervalo. A partir daqui eu vou calcular passo a passo as estatísticas amostrais, escolher o método adequado e construir os intervalos.
Passo 2
Calcular as estatísticas amostrais da amostra T1 (tamanho
) — vou mostrar as fórmulas e aplicar aos números.
- Tamanho:
. - Média amostral: a fórmula é
Somando os valores de T1 obtém-se
, logo
- Variância amostral (não viesada): a fórmula é
Calculando as diferenças ao quadrado e somando (detalhes numéricos já feitos), obtém-se
. Portanto
e o desvio-padrão amostral é
Passo 3
Calcular as estatísticas amostrais da amostra T2 (tamanho
).
- Tamanho:
. - Média amostral:
- Variância amostral:
Somando os quadrados das diferenças obtém-se
. Portanto
e
Observação: a variância de T2 é muito maior que a de T1 (
contra
), indicando dispersão muito maior em T2 (há valores bem afastados em T2).
Passo 4
Escolha do método (motivação e fórmula a usar).
- Quando as variâncias amostrais são bastante diferentes e/ou os tamanhos são pequenos, o método mais apropriado para intervalos de confiança da diferença
é o procedimento de Welch (t two-sample with unequal variances). Ele não assume variâncias iguais e usa uma aproximação para os graus de liberdade. - Fórmula geral para o estimador e erro padrão (Welch):
- Graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch–Satterthwaite):
Aqui
é a diferença das médias amostrais,
é o erro padrão da diferença,
são as variâncias amostrais e
os tamanhos amostrais.
Passo 5
Calcular
,
e os graus de liberdade
numericamente.
- Diferença pontual:
- Erro padrão:
- Graus de liberdade (Welch):
Calcular numerador e denominador da fórmula:
Logo usaremos aproximadamente
graus de liberdade para obter os quantis da
-Student.
Passo 6
Construir o intervalo bilateral com nível de confiança
.
- Para um intervalo bilateral de 95% usamos o quantil
. Com temos . - Margem de erro:
- Intervalo bilateral:
ou seja
Passo 7
Construir o intervalo unilateral limitado por um máximo (limite superior) com
.
- Para um intervalo unilateral superior de 95% usamos o quantil
. Com temos . - A bound superior é
- O intervalo unilateral (inferior não limitado) é
Passo 8
Construir o intervalo unilateral limitado por um mínimo (limite inferior) com
.
- Aqui
implica e usamos . Com temos . - O bound inferior é
- O intervalo unilateral (superior não limitado) é
Passo 9
Explicação didática e interpretação detalhada do que cada intervalo significa (foco em interpretação correta de intervalo de confiança).
-
Primeiro, o conceito-chave: um intervalo de confiança com nível
é um procedimento que, repetido muitas vezes em amostras iguais, produziria intervalos que contêm o valor verdadeiro do parâmetro em das repetições. Não se deve dizer que “há probabilidade de que o parâmetro esteja no intervalo obtido” — o parâmetro é fixo e o intervalo é aleatório. Em termos práticos, confiamos no procedimento: "estamos construindo o intervalo de forma que em 95% das amostras semelhantes ele capture o verdadeiro ". -
Interpretação do intervalo bilateral de 95%:
- O intervalo
significa: usando o método (Welch) e com nível de confiança 95%, o procedimento fornece um intervalo que, em média (ao longo de repetições), conterá o verdadeiro valor em 95% dos casos. Com os números obtidos, o intervalo específico indica que a diferença verdadeira pode estar entre aproximadamente e MPa. - Como o intervalo inclui
, não há evidência estatística, ao nível de 5%, de que seja diferente de . Em outras palavras, embora a média amostral do T1 seja menor que a do T2 (diferença amostral ), a incerteza (especialmente por causa da alta variabilidade em T2) é grande o suficiente para que zero ainda seja compatível com os dados.
- O intervalo
-
Interpretação do intervalo unilateral superior de 95%:
- O intervalo
significa: com o procedimento empregado, temos 95% de confiança de que o verdadeiro é menor ou igual a MPa. Em linguagem prática: não se pode garantir que seja menor que ; tudo que se consegue afirmar com 95% de confiança é que não excede MPa. - Se o objetivo fosse provar que
, seria necessário que esse limite superior fosse negativo; como , tal conclusão não é suportada ao nível de 5%.
- O intervalo
-
Interpretação do intervalo unilateral inferior de 90%:
- O intervalo
significa: com 90% de confiança, o verdadeiro é maior ou igual a MPa. Em termos práticos: não é menor que por mais de aproximadamente MPa, com confiança 90%. - Novamente, como o limite inferior é negativo, não se pode afirmar que
; apenas se tem um limite inferior para a diferença com 90% de confiança.
- O intervalo
Passo 10
Discussão final e recomendações práticas (o que os números nos dizem e cuidados a ter).
- Conclusão estatística principal: os intervalos mostram que não há evidência suficiente (ao nível usual de 5%) para afirmar que as médias de resistência de ruptura dos traços T1 e T2 são diferentes — o intervalo bilateral de 95% contém zero.
- Motivo principal da incerteza: a amostra de T2 tem variabilidade muito grande (
) enquanto T1 é muito homogênea ( ). Essa grande dispersão em T2 alarga o erro padrão e, portanto, os intervalos de confiança. - Observação prática: convém revisar os dados de T2 (possíveis erros de medição, corpos de prova defeituosos ou outliers como
e ). Se esses valores forem erros ou casos especiais, a análise deve ser refeita sem eles ou usando métodos robustos. - Se for importante obter uma conclusão mais precisa na prova ou em aplicação prática, recomenda-se aumentar o tamanho amostral, especialmente para T2, para reduzir o erro padrão e obter intervalos mais estreitos.
- Encorajamento: a diferença média amostral
indica que T2, na amostra, apresentou média maior que T1, mas a incerteza impede afirmar isso com confiança estatística forte. Em prova, explique claramente que a largura dos intervalos é dominada pela variação de T2 — isso demonstra entendimento do porquê dos resultados.