Uma empresa fornecedora de concreto usinado moldou e, após 15 dias de cura úmida, ensaiou dez corpos de prova com o traço T1, obtendo as seguintes resistências de ruptura (MPa): 16.025; 16.175;
. Com um outro traço, T2, promoveu do mesmo modo e ensaio 7 corpos de prova obtendo as seguintes resistências de ruptura:
; 16.09; 15.06; 17.99; 16.19. Considerando que esses corpos de prova foram moldados de dois traços de concreto habitualmente usados pela empresa que, por essa razão, pode-se admitir como válidas as variâncias
e
, construa os seguintes intervalos de confiança para a diferença
sob os níveis de confiança
pedidos e discuta os resultados de cada um desses intervalos:
- intervalo bilateral sob
;
- intervalo unilateral limitado por um máximo sob
;
- intervalo unilateral limitado por um mínimo sob
;
- para cada um dos três intervalos acima escreva detalhadamente o que significam.
Passo 1
O enunciado pede que eu construa intervalos de confiança para a diferença das médias
dos dois traços de concreto, usando que as variâncias populacionais são conhecidas e valem
e
. Os dados fornecidos são:
- Para o traço
(número de corpos de prova ) as resistências (MPa): . - Para o traço
(número de corpos de prova ) as resistências (MPa): .
As perguntas específicas são:
- Construir o intervalo bilateral para
com nível de confiança . - Construir intervalo unilateral limitado por um máximo (ou seja, um teto superior) com nível
. - Construir intervalo unilateral limitado por um mínimo (ou seja, um piso inferior) com nível
. - Para cada um dos três itens, explicar detalhadamente o que o intervalo significa.
Não começo a resolver ainda; primeiro eu já listei tudo o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Calculo as médias amostrais (passo-a-passo das somas para ficar claro). Para
:
Para
:
A estimativa pontual da diferença é
Aqui já temos os valores amostrais que usaremos nas fórmulas.
Passo 3
Explico o método e a fórmula que vou usar (passo didático):
Quando as variâncias populacionais
e
são conhecidas e as amostras são independentes, a estatística para a diferença de médias segue aproximadamente uma distribuição normal padrão. A variância da diferença amostral é
O desvio padrão (erro padrão) da diferença é
Para um intervalo bilateral com nível
usa-se
onde
é o quantil da Normal padrão tal que
.
Para um intervalo unilateral superior (limitado por um máximo) com nível
usa-se o fato de que
logo o limite superior é
e o intervalo é
.
Para um intervalo unilateral inferior (limitado por um mínimo) com nível
tem-se
logo o limite inferior é
e o intervalo é
.
Observações sobre as letras:
-
são as médias amostrais calculadas; -
são as variâncias populacionais conhecidas dadas; -
são os tamanhos das amostras; -
é o erro padrão da diferença; -
é o quantil da Normal padrão.
Passo 4
Calculo o erro padrão
usando as variâncias fornecidas e os tamanhos das amostras:
Vou manter
nas contas seguintes (suficiente para a precisão usual em intervalos de confiança).
Passo 5
Intervalo bilateral com nível
.
- O quantil é
. - A margem de erro é
- Portanto o intervalo bilateral é
Calculando as pontas:
Assim, o intervalo bilateral de
para
é aproximadamente
(MPa).
Passo 6
Interpretação detalhada do intervalo bilateral (didática e em linguagem simples):
- Em termos técnicos: dizer que o intervalo bilateral
é um intervalo de confiança de para significa que, se repetíssemos o experimento muitas vezes e construíssemos o intervalo da mesma forma a partir de cada amostra, aproximadamente desses intervalos conteriam o verdadeiro valor de . - Em termos práticos e direto: com
de confiança, a diferença entre a resistência média do traço e a do traço está entre MPa e MPa. Como o intervalo contém , não há evidência estatística suficiente (ao nível de significância ) para afirmar que as médias são diferentes; em outras palavras, a diferença observada pode ser compatível com variações amostrais. - Linguagem amigável: “Com 95% de confiança, a média de
pode ser até 1,414 MPa menor que a de ou até 0,452 MPa maior — portanto não podemos afirmar, com esse nível de confiança, que um traço supera o outro.”
Passo 7
Intervalo unilateral limitado por um máximo (teto superior) com nível
.
- Para uma cauda (superior) com confiança
usamos . O valor é . - A margem de uma cauda é
- O limite superior é
- Logo o intervalo unilateral (teto superior) de 90% é
MPa, ou dizendo de outra forma: com de confiança, MPa.
Passo 8
Interpretação detalhada do intervalo unilateral superior (teto):
- Em termos técnicos: o intervalo
é um intervalo de confiança unilateral de nível para . Significa que, em das repetições teóricas do experimento, o limite superior construído assim seria maior ou igual ao verdadeiro . - Em termos práticos: com
de confiança podemos afirmar que a diferença média não excede MPa. Em linguagem simples: “com 90% de confiança, a média do traço é, no máximo, MPa maior que a média do traço .” Note que esse limite é pequeno e o sinal negativo da estimativa pontual indica que tende a ter média maior que , mas o intervalo não exclui a possibilidade de igualdade ou de ser um pouco maior — apenas garante esse teto.
Passo 9
Intervalo unilateral limitado por um mínimo (piso inferior) com nível
.
- Para confiança
em uma cauda usamos . O valor é . - A margem é
- O limite inferior é
- Portanto o intervalo unilateral (piso inferior) de 80% é
MPa, ou seja com de confiança MPa.
Passo 10
Interpretação detalhada do intervalo unilateral inferior (piso):
- Em termos técnicos: o intervalo
é um intervalo de confiança unilateral de nível . Em repetições longas do procedimento, dos intervalos construídos dessa forma conteriam o verdadeiro . - Em termos práticos: com
de confiança podemos afirmar que a diferença não é menor que MPa; ou seja, não é, com probabilidade , pior que por mais de MPa. Em palavras leves: “com 80% de confiança, é, na pior das hipóteses, cerca de MPa abaixo de .”
Passo 11
Comentário final prático (encorajamento e síntese):
- As três respostas juntas indicam que a diferença amostral
é MPa, mas devido à variabilidade (as variâncias fornecidas são relativamente grandes) os intervalos incluem zero no caso bilateral e não dão evidência forte de diferença. Em termos úteis: não há suporte suficiente para afirmar que um traço é definitivamente melhor que o outro ao nível usual (5%), mas podemos limitar quão grande essa diferença pode ser (usando os intervalos unilaterais). - Fique calmo: se no teste da prova pedirem interpretar os intervalos, explique exatamente como eu coloquei — definição formal e depois a tradução para o problema concreto.
Resposta
Intervalo bilateral 95%:
Intervalo unilateral (teto) 90%:
(intervalo
)
Intervalo unilateral (piso) 80%:
(intervalo
)