Uma empresa fornecedora de concreto usinado moldou e, após 15 dias de cura úmida, ensaiou dez corpos de prova com o traço T1, obtendo as seguintes resistências de ruptura (MPa): 16.025; 16.175; 16.125 ; 16.150 ; 16.125 ; 16.075 ; 16.150 ; 16.200 ; 16.050 ; 16.075. Com um outro traço, T2, promoveu do mesmo modo e ensaio 7 corpos de prova obtendo as seguintes resistências de ruptura: 18.30 ; 16.16 ; 16.38; 16.09; 15.06; 17.99; 16.19. Considerando que esses corpos de prova foram moldados de dois traços de concreto habitualmente usados pela empresa que, por essa razão, pode-se admitir como válidas as variâncias \sigma_{1}^{2}=1.05 \mathrm{MPa} e \sigma_{2}^{2}=0.85, construa os seguintes intervalos de confiança para a diferença \left(\mu_{1}-\mu_{2}\right) sob os níveis de confiança (1-\alpha) pedidos e discuta os resultados de cada um desses intervalos:
  • intervalo bilateral sob (1-\alpha)=0.95;
  • intervalo unilateral limitado por um máximo sob (1-\alpha)=0.90;
  • intervalo unilateral limitado por um mínimo sob (1-\alpha)=0.80;
  • para cada um dos três intervalos acima escreva detalhadamente o que significam.

Passo 1

O enunciado pede que eu construa intervalos de confiança para a diferença das médias \left(\mu_{1}-\mu_{2}\right) dos dois traços de concreto, usando que as variâncias populacionais são conhecidas e valem \sigma_{1}^{2}=1{,}05\\ \text{MPa}^2 e \sigma_{2}^{2}=0{,}85\\ \text{MPa}^2. Os dados fornecidos são:
  • Para o traço T1 (número de corpos de prova n_{1}=10) as resistências (MPa): 16{,}025;\;16{,}175;\;16{,}125;\;16{,}150;\;16{,}125;\;16{,}075;\;16{,}150;\;16{,}200;\;16{,}050;\;16{,}075.
  • Para o traço T2 (número de corpos de prova n_{2}=7) as resistências (MPa): 18{,}30;\;16{,}16;\;16{,}38;\;16{,}09;\;15{,}06;\;17{,}99;\;16{,}19.
As perguntas específicas são:
  1. Construir o intervalo bilateral para \mu_{1}-\mu_{2} com nível de confiança (1-\alpha)=0{,}95.
  2. Construir intervalo unilateral limitado por um máximo (ou seja, um teto superior) com nível (1-\alpha)=0{,}90.
  3. Construir intervalo unilateral limitado por um mínimo (ou seja, um piso inferior) com nível (1-\alpha)=0{,}80.
  4. Para cada um dos três itens, explicar detalhadamente o que o intervalo significa.
Não começo a resolver ainda; primeiro eu já listei tudo o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Calculo as médias amostrais (passo-a-passo das somas para ficar claro). Para T1:
\text{Soma}_{1} = 16{,}025+16{,}175+16{,}125+16{,}150+16{,}125+16{,}075+16{,}150+16{,}200+16{,}050+16{,}075 = 161{,}150
\bar{x}_{1}=\frac{\text{Soma}_{1}}{n_{1}}=\frac{161{,}150}{10}=16{,}115
Para T2:
\text{Soma}_{2}=18{,}30+16{,}16+16{,}38+16{,}09+15{,}06+17{,}99+16{,}19=116{,}17
\bar{x}_{2}=\frac{\text{Soma}_{2}}{n_{2}}=\frac{116{,}17}{7}\approx16{,}595714\approx16{,}596
A estimativa pontual da diferença é
\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}=16{,}115-16{,}595714\approx-0{,}480714\approx-0{,}481.
Aqui já temos os valores amostrais que usaremos nas fórmulas.

Passo 3

Explico o método e a fórmula que vou usar (passo didático):
Quando as variâncias populacionais \sigma_{1}^{2} e \sigma_{2}^{2} são conhecidas e as amostras são independentes, a estatística para a diferença de médias segue aproximadamente uma distribuição normal padrão. A variância da diferença amostral é
\operatorname{Var}\!\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)=\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}.
O desvio padrão (erro padrão) da diferença é
\text{SE}=\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}.
Para um intervalo bilateral com nível (1-\alpha) usa-se
(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}) \pm z_{1-\alpha/2}\cdot \text{SE},
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da Normal padrão tal que P(Z\le z_{1-\alpha/2})=1-\alpha/2.
Para um intervalo unilateral superior (limitado por um máximo) com nível (1-\alpha) usa-se o fato de que
P\big(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\le (\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}) + z_{1-\alpha}\cdot\text{SE}\big)=1-\alpha,
logo o limite superior é
U=(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}) + z_{1-\alpha}\cdot\text{SE},
e o intervalo é (-\infty,\;U].
Para um intervalo unilateral inferior (limitado por um mínimo) com nível (1-\alpha) tem-se
P\big(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\ge (\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}) - z_{1-\alpha}\cdot\text{SE}\big)=1-\alpha,
logo o limite inferior é
L=(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}) - z_{1-\alpha}\cdot\text{SE},
e o intervalo é [L,\;+\infty).
Observações sobre as letras:
  • \bar{x}_{1},\bar{x}_{2} são as médias amostrais calculadas;
  • \sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2} são as variâncias populacionais conhecidas dadas;
  • n_{1},n_{2} são os tamanhos das amostras;
  • \text{SE} é o erro padrão da diferença;
  • z_{p} é o quantil da Normal padrão.

Passo 4

Calculo o erro padrão \text{SE} usando as variâncias fornecidas e os tamanhos das amostras:
\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}=\frac{1{,}05}{10}=0{,}105, \qquad \frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}=\frac{0{,}85}{7}\approx0{,}1214285714.
\text{SE}=\sqrt{0{,}105+0{,}1214285714}=\sqrt{0{,}2264285714}\approx0{,}476.
Vou manter \text{SE}\approx0{,}476 nas contas seguintes (suficiente para a precisão usual em intervalos de confiança).

Passo 5

Intervalo bilateral com nível (1-\alpha)=0{,}95.
  • O quantil é z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}975}=1{,}96.
  • A margem de erro é
\text{ME}=z_{0{,}975}\cdot\text{SE}=1{,}96\cdot0{,}476\approx0{,}933.
  • Portanto o intervalo bilateral é
(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}) \pm \text{ME} = -0{,}480714 \pm 0{,}933.
Calculando as pontas:
\text{Limite inferior}= -0{,}480714-0{,}933\approx -1{,}414, \qquad \text{Limite superior}= -0{,}480714+0{,}933\approx 0{,}452.
Assim, o intervalo bilateral de 95\% para \mu_{1}-\mu_{2} é aproximadamente -1{,}414 \le \mu_{1}-\mu_{2}\le 0{,}452 (MPa).

Passo 6

Interpretação detalhada do intervalo bilateral (didática e em linguagem simples):
  • Em termos técnicos: dizer que o intervalo bilateral [-1{,}414,\;0{,}452] é um intervalo de confiança de 95\% para \mu_{1}-\mu_{2} significa que, se repetíssemos o experimento muitas vezes e construíssemos o intervalo da mesma forma a partir de cada amostra, aproximadamente 95\% desses intervalos conteriam o verdadeiro valor de \mu_{1}-\mu_{2}.
  • Em termos práticos e direto: com 95\% de confiança, a diferença entre a resistência média do traço T1 e a do traço T2 está entre -1{,}414 MPa e 0{,}452 MPa. Como o intervalo contém 0, não há evidência estatística suficiente (ao nível de significância 5\%) para afirmar que as médias são diferentes; em outras palavras, a diferença observada -0{,}481 pode ser compatível com variações amostrais.
  • Linguagem amigável: “Com 95% de confiança, a média de T1 pode ser até 1,414 MPa menor que a de T2 ou até 0,452 MPa maior — portanto não podemos afirmar, com esse nível de confiança, que um traço supera o outro.”

Passo 7

Intervalo unilateral limitado por um máximo (teto superior) com nível (1-\alpha)=0{,}90.
  • Para uma cauda (superior) com confiança 90\% usamos z_{1-\alpha}=z_{0{,}90}. O valor é z_{0{,}90}\approx1{,}2816.
  • A margem de uma cauda é
\text{ME}_{\text{uni}}=z_{0{,}90}\cdot\text{SE}=1{,}2816\cdot0{,}476\approx0{,}610.
  • O limite superior é
U=(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})+\text{ME}_{\text{uni}}\approx -0{,}480714+0{,}610\approx0{,}129.
  • Logo o intervalo unilateral (teto superior) de 90% é (-\infty,\;0{,}129] MPa, ou dizendo de outra forma: com 90\% de confiança, \mu_{1}-\mu_{2}\le 0{,}129 MPa.

Passo 8

Interpretação detalhada do intervalo unilateral superior (teto):
  • Em termos técnicos: o intervalo (-\infty,\;0{,}129] é um intervalo de confiança unilateral de nível 90\% para \mu_{1}-\mu_{2}. Significa que, em 90\% das repetições teóricas do experimento, o limite superior construído assim seria maior ou igual ao verdadeiro \mu_{1}-\mu_{2}.
  • Em termos práticos: com 90\% de confiança podemos afirmar que a diferença média \mu_{1}-\mu_{2} não excede 0{,}129 MPa. Em linguagem simples: “com 90% de confiança, a média do traço T1 é, no máximo, 0{,}129 MPa maior que a média do traço T2.” Note que esse limite é pequeno e o sinal negativo da estimativa pontual indica que T2 tende a ter média maior que T1, mas o intervalo não exclui a possibilidade de igualdade ou de T1 ser um pouco maior — apenas garante esse teto.

Passo 9

Intervalo unilateral limitado por um mínimo (piso inferior) com nível (1-\alpha)=0{,}80.
  • Para confiança 80\% em uma cauda usamos z_{1-\alpha}=z_{0{,}80}. O valor é z_{0{,}80}\approx0{,}8416.
  • A margem é
\text{ME}_{\text{uni}}=z_{0{,}80}\cdot\text{SE}=0{,}8416\cdot0{,}476\approx0{,}400.
  • O limite inferior é
L=(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})-\text{ME}_{\text{uni}}\approx -0{,}480714-0{,}400\approx -0{,}881.
  • Portanto o intervalo unilateral (piso inferior) de 80% é [-0{,}881,\;+\infty) MPa, ou seja com 80\% de confiança \mu_{1}-\mu_{2}\ge -0{,}881 MPa.

Passo 10

Interpretação detalhada do intervalo unilateral inferior (piso):
  • Em termos técnicos: o intervalo [-0{,}881,\;+\infty) é um intervalo de confiança unilateral de nível 80\%. Em repetições longas do procedimento, 80\% dos intervalos construídos dessa forma conteriam o verdadeiro \mu_{1}-\mu_{2}.
  • Em termos práticos: com 80\% de confiança podemos afirmar que a diferença \mu_{1}-\mu_{2} não é menor que -0{,}881 MPa; ou seja, T1 não é, com probabilidade 80\%, pior que T2 por mais de 0{,}881 MPa. Em palavras leves: “com 80% de confiança, T1 é, na pior das hipóteses, cerca de 0{,}881 MPa abaixo de T2.”

Passo 11

Comentário final prático (encorajamento e síntese):
  • As três respostas juntas indicam que a diferença amostral \bar{x}_{1}-\bar{x}_{2} é -0{,}481 MPa, mas devido à variabilidade (as variâncias fornecidas são relativamente grandes) os intervalos incluem zero no caso bilateral e não dão evidência forte de diferença. Em termos úteis: não há suporte suficiente para afirmar que um traço é definitivamente melhor que o outro ao nível usual (5%), mas podemos limitar quão grande essa diferença pode ser (usando os intervalos unilaterais).
  • Fique calmo: se no teste da prova pedirem interpretar os intervalos, explique exatamente como eu coloquei — definição formal e depois a tradução para o problema concreto.

Resposta

Intervalo bilateral 95%: -1{,}414 \le \mu_{1}-\mu_{2} \le 0{,}452
Intervalo unilateral (teto) 90%: \mu_{1}-\mu_{2} \le 0{,}129 (intervalo (-\infty,\;0{,}129])
Intervalo unilateral (piso) 80%: \mu_{1}-\mu_{2} \ge -0{,}881 (intervalo [-0{,}881,\;+\infty))

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