Uma empresa fornecedora de concreto usinado moldou e, após 15 dias de cura úmida, ensaiou dez corpos de prova com o traço \mathbf{T 1}, obtendo as seguintes resistências de ruptura (MPa): 16.025 ; 16.175 ; 16.125; 16.150; 16.125; 16.075; 16.150; 16.200; 16.050; 16.075. Com um outro traço, T2, promoveu do mesmo modo e ensaio 7 corpos de prova obtendo as seguintes resistências de ruptura: 18.30 ; 16.16 ; 16.38 ; 16.09; 15.06; 17.99; 16.19. Considerando que esses corpos de prova foram moldados de dois traços de concreto desconhecidos pela empresa, admita como válido que as variâncias sejam iguais \left(\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}\right) e construa os seguintes intervalos de confiança para a diferença ( \mu_{1}-\mu_{2} ) sob os níveis de confiança ( (1-\alpha) ) pedidos e discuta os resultados de cada um desses intervalos:
  • intervalo bilateral sob (1-\alpha)=0.95;
  • intervalo unilateral limitado por um máximo sob (1-\alpha)=0.95;
  • intervalo unilateral limitado por um mínimo sob (1-\alpha)=0.90;
  • para cada um dos três intervalos acima escreva detalhadamente o que significam.

Passo 1

O enunciado dá duas amostras (resistências em MPa) e pede intervalos de confiança para a diferença \mu_{1}-\mu_{2} assumindo variâncias iguais. Dados (peguei estes números do enunciado):
  • Traço T1 ( n_{1}=10): 16,025; 16,175; 16,125; 16,150; 16,125; 16,075; 16,150; 16,200; 16,050; 16,075.
  • Traço T2 ( n_{2}=7): 18,30; 16,16; 16,38; 16,09; 15,06; 17,99; 16,19.
O que é pedido:
  1. Intervalo bilateral para \mu_{1}-\mu_{2} com nível de confiança 1-\alpha=0{,}95.
  2. Intervalo unilateral limitado por um máximo (ou seja, um limite superior) para \mu_{1}-\mu_{2} com nível 1-\alpha=0{,}95.
  3. Intervalo unilateral limitado por um mínimo (ou seja, um limite inferior) para \mu_{1}-\mu_{2} com nível 1-\alpha=0{,}90.
    Além disso, discutir o significado de cada intervalo.

Passo 2

Calcular médias amostrais. Fórmula da média amostral: \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i.
Para T1:
\sum x_{1i}=161,150,\qquad n_{1}=10 \quad\Rightarrow\quad \bar{x}_1=\dfrac{161,150}{10}=16,115.
Para T2:
\sum x_{2i}=116,17,\qquad n_{2}=7 \quad\Rightarrow\quad \bar{x}_2=\dfrac{116,17}{7}=16,595714\ldots\\ (\approx16,595714).
Diferença de médias observada:
\bar{x}_1-\bar{x}_2=16,115-16,595714\ldots=-0,480714\ldots\\ (\approx-0,4807).

Passo 3

Calcular variâncias amostrais. Fórmula da variância amostral:
s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.
Para T1 obtém-se (soma dos quadrados das diferenças) \sum (x_{1i}-\bar{x}_1)^2=0,029, logo
s_1^2=\dfrac{0,029}{9}=0,003222\ldots\quad\Rightarrow\quad s_1\approx0,05678.
Para T2 usando \sum x_{2i}^2=1935,7879 e \bar{x}_2 calcula-se
s_2^2=\dfrac{\sum x_{2i}^2 - n_2\bar{x}_2^2}{n_2-1}=\dfrac{1935,7879 - 7\cdot(16,595714\ldots)^2}{6}\approx1,310629,
logo
s_2\approx1,1453.
(Sintetizando: s_1^2\approx0,003222 e s_2^2\approx1,310629.)

Passo 4

Como foi assumido \sigma_1^2=\sigma_2^2, usamos a variância agrupada (pooled):
s_p^2=\dfrac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}.
Substituindo:
s_p^2=\dfrac{9\cdot0,003222 + 6\cdot1,310629}{10+7-2}=\dfrac{0,029 + 7,863774}{15}=0,5261848\ldots
Então
s_p\approx\sqrt{0,5261848}\approx0,72555.
Explicação curta (didática): a variância agrupada é uma média ponderada das variâncias amostrais quando se assume que a variância verdadeira é a mesma nas duas populações; os pesos são os graus de liberdade de cada amostra.

Passo 5

Erro padrão da diferença de médias (com variância comum):
\text{SE} = s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}.
Calculemos:
\text{SE}=0,72555\sqrt{\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{7}}=0,72555\sqrt{0,24285714\ldots}\approx0,357576.
Comentário: esse \text{SE} mede a variabilidade esperada da diferença \bar{x}_1-\bar{x}_2 de amostras aleatórias.

Passo 6

Distribuição usada e graus de liberdade: como assumimos variâncias iguais e as amostras são independentes, a estatística
\frac{(\bar{X}_1-\bar{X}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}}
segue a distribuição t com n_1+n_2-2 graus de liberdade. Aqui df=10+7-2=15.
Valores críticos t (tabela t com df=15):
  • Para intervalo bilateral 95\%: t_{0,025;15}\approx2,13145.
  • Para intervalo unilateral superior a 95\%: usamos t_{0,05;15}\approx1,75305.
  • Para intervalo unilateral inferior a 90\%: usamos t_{0,10;15}\approx1,34061.
Breve explicação didática: para intervalo bilateral usamos quantil t_{1-\alpha/2}; para intervalo unilateral com confiança 1-\alpha usamos quantil t_{1-\alpha}.

Passo 7

Construção do intervalo bilateral com 1-\alpha=0{,}95.
Fórmula:
(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm t_{0,025;15}\cdot\text{SE}.
Cálculo:
\text{margem}=2,13145\cdot0,357576\approx0,762000.
Portanto
\bar{x}_1-\bar{x}_2\pm\text{margem}=-0,480714\pm0,762000.
Resultado numérico:
\boxed{[-1,243\;;\;0,281]\\ \text{(MPa)}}.
Interpretação (didática e em linguagem simples): com o método usado, se repetíssemos muitas vezes a amostragem e construção deste intervalo, cerca de 95\% desses intervalos conteriam o verdadeiro valor \mu_1-\mu_2. Aqui o intervalo contém zero, portanto não há evidência estatística, a nível de 95\%, de que as médias sejam diferentes (ou seja, não podemos afirmar que \mu_1\neq\mu_2 com 95% de confiança).

Passo 8

Construção do intervalo unilateral limitado por um máximo com 1-\alpha=0{,}95.
Para um limite superior (intervalo do tipo (-\infty,\; U]) o extremo superior é:
U=(\bar{x}_1-\bar{x}_2)+t_{0,05;15}\cdot\text{SE}.
Cálculo:
\text{margem}_{\text{upper}}=1,75305\cdot0,357576\approx0,62699,
U=-0,480714+0,62699\approx0,146276.
Portanto o intervalo unilateral é
\boxed{(-\infty,\;0,146)\\ \text{(MPa)}}.
Interpretação: com nível de confiança 95\%, podemos afirmar que \mu_1-\mu_2 é menor ou igual a 0,146 MPa (no sentido da inferência por intervalo). Em linguagem prática: não há suporte para que a diferença verdadeira seja maior que 0,146 MPa com confiança 95\%. Note que esse intervalo permite valores negativos grandes (indicando \mu_1 menor que \mu_2), mas limita o tamanho positivo que a diferença pode ter.

Passo 9

Construção do intervalo unilateral limitado por um mínimo com 1-\alpha=0{,}90.
Para um limite inferior (intervalo do tipo [L,\infty)) o extremo inferior é:
L=(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-t_{0,10;15}\cdot\text{SE}.
Cálculo:
\text{margem}_{\text{lower}}=1,34061\cdot0,357576\approx0,47961,
L=-0,480714-0,47961\approx-0,960324.
Portanto o intervalo unilateral é
\boxed{[-0,960,\;\infty)\\ \text{(MPa)}}.
Interpretação: com nível de confiança 90\%, podemos afirmar que \mu_1-\mu_2 é pelo menos -0,960 MPa. Em termos práticos: com 90\% de confiança a diferença verdadeira não é menor que -0,960 MPa (ou seja, \mu_1 não é muito menor que \mu_2 por mais de cerca de 0,96 MPa).

Passo 10

Discussão geral e implicações práticas (linguagem direta e tranquila):
  • O intervalo bilateral 95\% contém zero ( [-1,243;\,0,281]). Isso significa que, considerando variações amostrais e a suposição de variâncias iguais, não há evidência estatística suficiente (ao nível 5\%) para afirmar que as resistências médias dos dois traços são diferentes. Em termos práticos: a diferença observada -0,481 MPa pode ser apenas variação amostral.
  • O intervalo unilateral superior 95\% diz que, com 95\% de confiança, \mu_1-\mu_2\le 0,146 MPa. Ou seja, é muito improvável (segundo os dados e suposições) que \mu_1 seja mais de 0,146 MPa maior que \mu_2.
  • O intervalo unilateral inferior 90\% diz que, com 90\% de confiança, \mu_1-\mu_2\ge -0,960 MPa. Ou seja, \mu_1 não é muito menor do que \mu_2 por mais de cerca de 0,96 MPa com 90\% de confiança.
Observações finais (práticas e honestas):
  • A amostra do T2 mostra variabilidade maior (há alguns valores fora do núcleo), por isso a variância agrupada acabou relativamente grande e os intervalos ficaram largos.
  • As conclusões dependem da suposição de variâncias iguais e da aproximação t. Se essa suposição for duvidosa, deveria-se usar o procedimento de Welch (variâncias desiguais).
  • Coragem: o resultado é comum em dados reais — não encontrar diferença significativa com poucas amostras não é vergonha, é informação. Dá para decidir se precisa coletar mais corpos de prova para reduzir a incerteza.

Resposta

\mu_{1}-\mu_{2}\in[-1,243\;;\;0,281]
\mu_{1}-\mu_{2}\in(-\infty\;;\;0,146]
\mu_{1}-\mu_{2}\in[-0,960\;;\;\infty)

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