Uma empresa fornecedora de concreto usinado moldou e, após 15 dias de cura úmida, ensaiou dez corpos de prova com o traço
, obtendo as seguintes resistências de ruptura (MPa):
; 16.150; 16.125; 16.075; 16.150; 16.200; 16.050; 16.075. Com um outro traço, T2, promoveu do mesmo modo e ensaio 7 corpos de prova obtendo as seguintes resistências de ruptura:
; 15.06; 17.99; 16.19. Considerando que esses corpos de prova foram moldados de dois traços de concreto desconhecidos pela empresa, admita como válido que as variâncias sejam iguais
e construa os seguintes intervalos de confiança para a diferença (
) sob os níveis de confiança (
) pedidos e discuta os resultados de cada um desses intervalos:
- intervalo bilateral sob
;
- intervalo unilateral limitado por um máximo sob
;
- intervalo unilateral limitado por um mínimo sob
;
- para cada um dos três intervalos acima escreva detalhadamente o que significam.
Passo 1
O enunciado dá duas amostras (resistências em MPa) e pede intervalos de confiança para a diferença
assumindo variâncias iguais. Dados (peguei estes números do enunciado):
- Traço
( ): ; ; ; ; ; ; ; ; ; . - Traço
( ): ; ; ; ; ; ; .
O que é pedido:
- Intervalo bilateral para
com nível de confiança . - Intervalo unilateral limitado por um máximo (ou seja, um limite superior) para
com nível . - Intervalo unilateral limitado por um mínimo (ou seja, um limite inferior) para
com nível .
Além disso, discutir o significado de cada intervalo.
Passo 2
Calcular médias amostrais. Fórmula da média amostral:
.
Para
:
Para
:
Diferença de médias observada:
Passo 3
Calcular variâncias amostrais. Fórmula da variância amostral:
Para
obtém-se (soma dos quadrados das diferenças)
, logo
Para
usando
e
calcula-se
logo
(Sintetizando:
e
.)
Passo 4
Como foi assumido
, usamos a variância agrupada (pooled):
Substituindo:
Então
Explicação curta (didática): a variância agrupada é uma média ponderada das variâncias amostrais quando se assume que a variância verdadeira é a mesma nas duas populações; os pesos são os graus de liberdade de cada amostra.
Passo 5
Erro padrão da diferença de médias (com variância comum):
Calculemos:
Comentário: esse
mede a variabilidade esperada da diferença
de amostras aleatórias.
Passo 6
Distribuição usada e graus de liberdade: como assumimos variâncias iguais e as amostras são independentes, a estatística
segue a distribuição
com
graus de liberdade. Aqui
.
Valores críticos
(tabela
com
):
- Para intervalo bilateral
: . - Para intervalo unilateral superior a
: usamos . - Para intervalo unilateral inferior a
: usamos .
Breve explicação didática: para intervalo bilateral usamos quantil
; para intervalo unilateral com confiança
usamos quantil
.
Passo 7
Construção do intervalo bilateral com
.
Fórmula:
Cálculo:
Portanto
Resultado numérico:
Interpretação (didática e em linguagem simples): com o método usado, se repetíssemos muitas vezes a amostragem e construção deste intervalo, cerca de
desses intervalos conteriam o verdadeiro valor
. Aqui o intervalo contém zero, portanto não há evidência estatística, a nível de
, de que as médias sejam diferentes (ou seja, não podemos afirmar que
com 95% de confiança).
Passo 8
Construção do intervalo unilateral limitado por um máximo com
.
Para um limite superior (intervalo do tipo
) o extremo superior é:
Cálculo:
Portanto o intervalo unilateral é
Interpretação: com nível de confiança
, podemos afirmar que
é menor ou igual a
MPa (no sentido da inferência por intervalo). Em linguagem prática: não há suporte para que a diferença verdadeira seja maior que
MPa com confiança
. Note que esse intervalo permite valores negativos grandes (indicando
menor que
), mas limita o tamanho positivo que a diferença pode ter.
Passo 9
Construção do intervalo unilateral limitado por um mínimo com
.
Para um limite inferior (intervalo do tipo
) o extremo inferior é:
Cálculo:
Portanto o intervalo unilateral é
Interpretação: com nível de confiança
, podemos afirmar que
é pelo menos
MPa. Em termos práticos: com
de confiança a diferença verdadeira não é menor que
MPa (ou seja,
não é muito menor que
por mais de cerca de
MPa).
Passo 10
Discussão geral e implicações práticas (linguagem direta e tranquila):
- O intervalo bilateral
contém zero ( ). Isso significa que, considerando variações amostrais e a suposição de variâncias iguais, não há evidência estatística suficiente (ao nível ) para afirmar que as resistências médias dos dois traços são diferentes. Em termos práticos: a diferença observada MPa pode ser apenas variação amostral. - O intervalo unilateral superior
diz que, com de confiança, MPa. Ou seja, é muito improvável (segundo os dados e suposições) que seja mais de MPa maior que . - O intervalo unilateral inferior
diz que, com de confiança, MPa. Ou seja, não é muito menor do que por mais de cerca de MPa com de confiança.
Observações finais (práticas e honestas):
- A amostra do
mostra variabilidade maior (há alguns valores fora do núcleo), por isso a variância agrupada acabou relativamente grande e os intervalos ficaram largos. - As conclusões dependem da suposição de variâncias iguais e da aproximação
. Se essa suposição for duvidosa, deveria-se usar o procedimento de Welch (variâncias desiguais). - Coragem: o resultado é comum em dados reais — não encontrar diferença significativa com poucas amostras não é vergonha, é informação. Dá para decidir se precisa coletar mais corpos de prova para reduzir a incerteza.