Uma empresa industrial estuda a viabilidade econômica de um projeto de investimento orçado em R$ 981.815,00. Considerando que o projeto tem duração prevista de 20 anos e o estudo de viabilidade econômico-financeiro projetou fluxos de caixa líquidos de \mathrm{R} \100.000$ por ano, calcular a TIR do projeto.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a TIR (taxa interna de retorno) de um projeto com as seguintes informações fornecidas:
  • Investimento inicial: R\$\,981.815{,}00.
  • Fluxos de caixa líquidos uniformes: R\$\,100.000 por ano.
  • Duração do projeto: 20 anos.
    Pergunta: qual é a TIR anual que zera o valor presente líquido (VPL) desse projeto?

Passo 2

Definição e equação que vamos resolver.
A TIR é a taxa r que satisfaz a condição de VPL igual a zero. A expressão do VPL para um investimento inicial (sinal negativo) seguido por uma renda anual constante (anuidades) é
\text{VPL}(r) = -\text{Investimento\_inicial} + \text{Caixa\_anual}\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}.
Aqui:
  • \text{Investimento\_inicial} = R\$\,981.815{,}00,
  • \text{Caixa\_anual} = R\$\,100.000,
  • n = 20 anos,
  • r é a TIR anual (o que queremos achar).
    A fórmula \dfrac{1-(1+r)^{-n}}{r} é o fator de valor presente de uma anuidade (PVIFA).

Passo 3

Colocando os números na equação da TIR. Queremos r tal que
-981{,}815 + 100{,}000\cdot\frac{1-(1+r)^{-20}}{r}=0.
Dividindo ambos os lados por 100{,}000 (para simplificar os números), obtemos
\frac{981{,}815}{100{,}000}=\frac{1-(1+r)^{-20}}{r}.
O lado esquerdo é
\frac{981{,}815}{100{,}000}=9{,}81815.
Portanto precisamos achar r que satisfaça
\frac{1-(1+r)^{-20}}{r}=9{,}81815.

Passo 4

Interpretação: o número 9{,}81815 é o fator presente de uma anuidade de 20 anos que transforma 100{,}000 anuais em 981{,}815 hoje. Precisamos achar a taxa r cujo PVIFA com n=20 vale 9{,}81815.

Passo 5

Estratégia numérica simples (teste por tentativa): o PVIFA é uma função decrescente de r (quanto maior a taxa, menor o valor presente). Vamos testar algumas taxas usuais para localizar r.
Calculemos o PVIFA em r=5\%:
\text{PVIFA}(5\%,20)=\frac{1-(1{,}05)^{-20}}{0{,}05}.
Para 1{,}05^{20} podemos aproximar 1{,}05^{20}\approx 2{,}6533, logo (1{,}05)^{-20}\approx 0{,}376889. Então
\text{PVIFA}(5\%,20)\approx\frac{1-0{,}376889}{0{,}05}=\frac{0{,}623111}{0{,}05}\approx12{,}4622.
Isso é maior que 9{,}81815, então a taxa buscada é maior que 5\%.
Calculemos o PVIFA em r=10\%:
\text{PVIFA}(10\%,20)=\frac{1-(1{,}10)^{-20}}{0{,}10}.
Aproximando 1{,}10^{20}\approx6{,}7275, logo (1{,}10)^{-20}\approx0{,}14864. Então
\text{PVIFA}(10\%,20)\approx\frac{1-0{,}14864}{0{,}10}=\frac{0{,}85136}{0{,}10}\approx8{,}5136.
Isso é menor que 9{,}81815, então a taxa buscada está entre 5\% e 10\%.

Passo 6

Teste em r=8\%, que costuma estar exatamente no meio do intervalo e é um palpite razoável:
\text{PVIFA}(8\%,20)=\frac{1-(1{,}08)^{-20}}{0{,}08}.
Vamos calcular 1{,}08^{20} passo a passo (multiplicações repetidas) para não pular etapas:
1{,}08^{2}=1{,}1664,
1{,}08^{3}=1{,}259712,
1{,}08^{4}=1{,}360489,
1{,}08^{5}=1{,}469328,
1{,}08^{6}=1{,}586874,
1{,}08^{7}=1{,}713824,
1{,}08^{8}=1{,}850930,
1{,}08^{9}=1{,}999004,
1{,}08^{10}=2{,}158924.
Então 1{,}08^{20}=(1{,}08^{10})^{2}\approx(2{,}158924)^{2}\approx4{,}662 (aprox.). Assim (1{,}08)^{-20}\approx0{,}2144. Agora
\text{PVIFA}(8\%,20)\approx\frac{1-0{,}2144}{0{,}08}=\frac{0{,}7856}{0{,}08}\approx9{,}82.
Comparando com 9{,}81815: o valor encontrado para 8\% é praticamente igual (diferença na ordem de 10^{-3} ou menos). Isso indica que a TIR é muito próxima de 8\%.

Passo 7

Ajuste fino e conclusão prática. A diferença entre o PV (com r=8\%) e o investimento inicial é muito pequena:
100{,}000\cdot\text{PVIFA}(8\%,20)\approx100{,}000\cdot9{,}82\approx981{,}~\text{mil e pouco},
muito próximo de 981{,}815. Para todos os propósitos práticos de prova (e considerando arredondamentos típicos em tabelas financeiras), a TIR é
r\approx8{,}00\%\\ \text{ao ano}.
Se você quisesse a TIR com mais casas decimais, poderia aplicar um método numérico (interpolação linear ou Newton-Raphson) entre valores muito próximos a 8\%; o ganho em precisão não altera a interpretação prática aqui.

Resposta

TIR \approx 8{,}00\% ao ano.

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