Uma empresa industrial estuda a viabilidade econômica de um projeto de investimento orçado em R$
. Considerando que o projeto tem duração prevista de 20 anos e o estudo de viabilidade econômico-financeiro projetou fluxos de caixa líquidos de
100.000$ por ano, calcular a TIR do projeto.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a TIR (taxa interna de retorno) de um projeto com as seguintes informações fornecidas:
- Investimento inicial:
. - Fluxos de caixa líquidos uniformes:
por ano. - Duração do projeto:
anos.
Pergunta: qual é a TIR anual que zera o valor presente líquido (VPL) desse projeto?
Passo 2
Definição e equação que vamos resolver.
A TIR é a taxa que satisfaz a condição de VPL igual a zero. A expressão do VPL para um investimento inicial (sinal negativo) seguido por uma renda anual constante (anuidades) é
A TIR é a taxa
Aqui:
-
, -
, -
anos, -
é a TIR anual (o que queremos achar).
A fórmulaé o fator de valor presente de uma anuidade (PVIFA).
Passo 3
Colocando os números na equação da TIR. Queremos
tal que
Dividindo ambos os lados por
(para simplificar os números), obtemos
O lado esquerdo é
Portanto precisamos achar
que satisfaça
Passo 4
Interpretação: o número
é o fator presente de uma anuidade de
anos que transforma
anuais em
hoje. Precisamos achar a taxa
cujo PVIFA com
vale
.
Passo 5
Estratégia numérica simples (teste por tentativa): o PVIFA é uma função decrescente de
(quanto maior a taxa, menor o valor presente). Vamos testar algumas taxas usuais para localizar
.
Calculemos o PVIFA em
:
Para
podemos aproximar
, logo
. Então
Isso é maior que
, então a taxa buscada é maior que
.
Calculemos o PVIFA em
:
Aproximando
, logo
. Então
Isso é menor que
, então a taxa buscada está entre
e
.
Passo 6
Teste em
, que costuma estar exatamente no meio do intervalo e é um palpite razoável:
Vamos calcular
passo a passo (multiplicações repetidas) para não pular etapas:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Então (aprox.). Assim
. Agora
Então
Comparando com
: o valor encontrado para
é praticamente igual (diferença na ordem de
ou menos). Isso indica que a TIR é muito próxima de
.
Passo 7
Ajuste fino e conclusão prática. A diferença entre o PV (com
) e o investimento inicial é muito pequena:
muito próximo de
. Para todos os propósitos práticos de prova (e considerando arredondamentos típicos em tabelas financeiras), a TIR é
Se você quisesse a TIR com mais casas decimais, poderia aplicar um método numérico (interpolação linear ou Newton-Raphson) entre valores muito próximos a
; o ganho em precisão não altera a interpretação prática aqui.
Resposta
TIR
ao ano.