A RIOLUX instalou um sistema de geração de energia elétrica a um custo de \ 30 milhões. Os custos operacionais do equipamento são deõã$120.000 /mês e sua vida é estimada em 15 anos. Considerando que a empresa deseja uma rentabilidade mínima deêéí12 %$ a.m., determinar o custo mensal que deve ser repassado aos usuários do sistema de modo que cubra os gastos operacionais e remunere adequadamente o capital empregado.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Custo de instalação (investimento inicial): P=\$30{,}000{,}000.
  • Custos operacionais mensais: C_{\text{op}}=\$120{,}000 por mês.
  • Vida útil: 15 anos \Rightarrow n=15\cdot 12=180 meses.
  • Taxa de rentabilidade exigida: i=12\% ao mês \Rightarrow i=0{,}12 por mês.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o custo mensal que deve ser cobrado dos usuários de modo que cubra os gastos operacionais e remunere adequadamente o capital empregado (ou seja, cubra C_{\text{op}} e a parcela mensal que remunera o investimento P).

Passo 2

Plano de solução (o que vamos calcular, sem ainda resolver):\n
  • O valor mensal a ser cobrado será a soma de duas partes: a parte que paga os custos operacionais mensais C_{\text{op}} e a parte que recupera e remunera o capital investido (chamarei de A, a anuidade ou parcela mensal do investimento). Portanto o custo mensal T será
T = C_{\text{op}} + A.
  • Precisamos calcular A tal que o valor presente das parcelas mensais A por n meses, descontadas à taxa i ao mês, seja igual ao investimento inicial P. Isso é o problema clássico de recuperação de capital via uma série uniforme.

Passo 3

Explicando a fórmula da anuidade (aula rápida e intuitiva):\n
  • Suponha que você receba ou pague uma quantia fixa A todo mês, por n meses, e a taxa de desconto por mês seja i. O valor presente PV dessa sequência é a soma de uma progressão geométrica:
PV = A\left(\frac{1}{1+i} + \frac{1}{(1+i)^2} + \cdots + \frac{1}{(1+i)^n}\right).
  • A soma dentro do parênteses é uma soma geométrica com razão 1/(1+i). A fórmula fechada dessa soma é
\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}.
(Se quiser, pense: multiplicando por i e rearranjando obtém-se a soma finita da progressão geométrica.)
  • Assim o valor presente de uma anuidade A é
PV = A\cdot\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}.
  • No nosso caso queremos que esse PV seja exatamente o investimento P. Isolando A obtemos a fórmula que usamos para recuperar o capital e remunerá-lo:
A = P\cdot\frac{i}{1 - (1+i)^{-n}}.
  • Aqui:
    • P é o capital investido (presente).
    • i é a taxa de juros por período (mensal).
    • n é o número de períodos (meses).
    • A é a parcela mensal que, paga por n meses, tem valor presente igual a P.

Passo 4

Substituindo os valores do problema na fórmula:\n
Temos P=\$30{,}000{,}000, i=0{,}12 e n=180. Portanto
A = 30{,}000{,}000 \cdot \frac{0{,}12}{1 - (1{,}12)^{-180}}.

Passo 5

Avaliação numérica da fração (1{,}12)^{-180} (para ver se simplifica):\n
  • Calculemos aproximadamente (1{,}12)^{-180}. Uma forma prática é usar logaritmo natural:
\ln\big((1{,}12)^{-180}\big) = -180\ln(1{,}12).
  • Como \ln(1{,}12)\approx 0{,}1133287, então
-180\ln(1{,}12)\approx -180\cdot 0{,}1133287 \approx -20{,}399 \quad\Rightarrow\quad (1{,}12)^{-180}\approx e^{-20{,}399}\approx 1{,}38\times 10^{-9}.
  • Esse número é extremamente pequeno, praticamente zero para nossos cálculos práticos. Logo
1 - (1{,}12)^{-180} \approx 1 - 1{,}38\times 10^{-9} \approx 0{,}99999999862.
  • Assim o denominador é praticamente 1, e a fração \dfrac{0{,}12}{1-(1{,}12)^{-180}} é praticamente \,0{,}12 com uma diferença minúscula.

Passo 6

Cálculo da parcela A (recuperação do capital) e do total mensal:\n
  • Usando o valor aproximado de (1{,}12)^{-180}, temos
A \approx 30{,}000{,}000 \cdot \frac{0{,}12}{0{,}99999999862} \approx 30{,}000{,}000 \cdot 0{,}120000000166\approx \$3{,}600{,}000{,}005.
  • Ou seja, numericamente A é praticamente \$3{,}600{,}000 por mês (a diferença é de alguns centavos).
  • Agora somamos os custos operacionais mensais C_{\text{op}}=\$120{,}000:
T = C_{\text{op}} + A \approx \$120{,}000 + \$3{,}600{,}000 = \$3{,}720{,}000.
  • Interpretação rápida: com uma taxa tão alta por mês ( 12\% a.m.), a parcela de recuperação do capital é praticamente igual a P\cdot i (ou seja, juros do mês sobre o capital), porque o fator de amortização converge rapidamente quando i e n são grandes.

Passo 7

Conclusão e dica prática para prova:\n
  • Resultado prático: cobrar \$3{,}720{,}000 por mês cobre os custos operacionais de \$120{,}000 e remunera o capital investido a 12\% a.m. durante 15 anos.
  • Dica: quando i é grande e n também é grande, (1+i)^{-n} costuma ser negligenciável, então A\approx P\cdot i. Isso economiza cálculo na prova e dá uma estimativa rápida e confiável.

Resposta

\$3{,}720{,}000

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