A RIOLUX instalou um sistema de geração de energia elétrica a um custo de
30
$120.000
12 %$ a.m., determinar o custo mensal que deve ser repassado aos usuários do sistema de modo que cubra os gastos operacionais e remunere adequadamente o capital empregado.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
- Custo de instalação (investimento inicial):
. - Custos operacionais mensais:
por mês. - Vida útil:
anos meses. - Taxa de rentabilidade exigida:
ao mês por mês.
O que o enunciado pede:
- Determinar o custo mensal que deve ser cobrado dos usuários de modo que cubra os gastos operacionais e remunere adequadamente o capital empregado (ou seja, cubra
e a parcela mensal que remunera o investimento ).
Passo 2
Plano de solução (o que vamos calcular, sem ainda resolver):\n
- O valor mensal a ser cobrado será a soma de duas partes: a parte que paga os custos operacionais mensais
e a parte que recupera e remunera o capital investido (chamarei de , a anuidade ou parcela mensal do investimento). Portanto o custo mensal será
- Precisamos calcular
tal que o valor presente das parcelas mensais por meses, descontadas à taxa ao mês, seja igual ao investimento inicial . Isso é o problema clássico de recuperação de capital via uma série uniforme.
Passo 3
Explicando a fórmula da anuidade (aula rápida e intuitiva):\n
- Suponha que você receba ou pague uma quantia fixa
todo mês, por meses, e a taxa de desconto por mês seja . O valor presente dessa sequência é a soma de uma progressão geométrica:
- A soma dentro do parênteses é uma soma geométrica com razão
. A fórmula fechada dessa soma é
(Se quiser, pense: multiplicando por
e rearranjando obtém-se a soma finita da progressão geométrica.)
- Assim o valor presente de uma anuidade
é
- No nosso caso queremos que esse
seja exatamente o investimento . Isolando obtemos a fórmula que usamos para recuperar o capital e remunerá-lo:
- Aqui:
-
é o capital investido (presente). -
é a taxa de juros por período (mensal). -
é o número de períodos (meses). -
é a parcela mensal que, paga por meses, tem valor presente igual a .
-
Passo 4
Substituindo os valores do problema na fórmula:\n
Temos ,
e
. Portanto
Temos
Passo 5
Avaliação numérica da fração
(para ver se simplifica):\n
- Calculemos aproximadamente
. Uma forma prática é usar logaritmo natural:
- Como
, então
- Esse número é extremamente pequeno, praticamente zero para nossos cálculos práticos. Logo
- Assim o denominador é praticamente 1, e a fração
é praticamente com uma diferença minúscula.
Passo 6
Cálculo da parcela
(recuperação do capital) e do total mensal:\n
- Usando o valor aproximado de
, temos
- Ou seja, numericamente
é praticamente por mês (a diferença é de alguns centavos). - Agora somamos os custos operacionais mensais
:
- Interpretação rápida: com uma taxa tão alta por mês (
a.m.), a parcela de recuperação do capital é praticamente igual a (ou seja, juros do mês sobre o capital), porque o fator de amortização converge rapidamente quando e são grandes.
Passo 7
Conclusão e dica prática para prova:\n
- Resultado prático: cobrar
por mês cobre os custos operacionais de e remunera o capital investido a a.m. durante anos. - Dica: quando
é grande e também é grande, costuma ser negligenciável, então . Isso economiza cálculo na prova e dá uma estimativa rápida e confiável.