Calcular a TIR de um projeto que requer um investimento inicial de
2.000 .000
$240.000$ /ano durante 15 anos.
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos:
Temos um projeto que exige um investimento inicial de (um desembolso no tempo zero) e gera um fluxo de caixa constante de
por ano durante
anos.
A pergunta: calcular a Taxa Interna de Retorno (TIR) desse projeto — ou seja, encontrar a taxa anual que faz o Valor Presente Líquido (VPL ou NPV) igual a zero.
Temos um projeto que exige um investimento inicial de
A pergunta: calcular a Taxa Interna de Retorno (TIR) desse projeto — ou seja, encontrar a taxa anual
Dados relevantes (transcritos explicitamente):
- investimento inicial:
no tempo , - fluxo anual constante:
para , - horizonte:
anos, - queremos
tal que .
Passo 2
O que é a TIR e como se relaciona com o VPL (explicação didática e simples):
A TIR é a taxa que faz o VPL igual a zero. O VPL é a soma dos fluxos descontados menos o investimento inicial. Em notação:
A TIR é a taxa
A TIR é a solução
tal que
. Ou seja, buscamos
que satisfaz:
(Agora vamos transformar a soma numa fórmula mais prática.)
Passo 3
Fórmula do valor presente de uma anuidade (passo-a-passo e por que ela vale):
A soma dos descontos dos pagamentos anuais iguais forma uma série geométrica. A soma
A soma dos descontos dos pagamentos anuais iguais forma uma série geométrica. A soma
pode ser escrita e simplificada usando a fórmula da soma de uma série geométrica. O resultado padrão (valor presente de uma anuidade de 1 por período) é:
Breve derivação (intuitiva): multiplica-se a soma por
, subtrai-se da soma original e resolve-se para a soma; o que sobra é exatamente a expressão acima. Aqui:
-
é o número de períodos ( ), -
é a taxa por período (ano), -
é o fator de desconto até o último pagamento.
Assim, o valor presente dos
por ano é
Passo 4
Escrever a equação da TIR usando a fórmula da anuidade e isolar a quantidade numérica:
Substituindo no VPL e pedindo que seja zero:
Substituindo no VPL e pedindo que seja zero:
Reorganizando, obtemos a equação que determina
:
Calcule o lado direito:
Logo precisamos de
que satisfaça
Passo 5
Observação sobre solução analítica vs. numérica e método escolhido (explicado como se estivesse na prova):
A equação acima não admite solução algébrica simples para ; portanto usa-se método numérico (tentar taxas e ver se o lado esquerdo é maior ou menor que
). Na prova você pode usar: calculadora financeira (função IRR ou solver), planilha, ou fazer tentativa e erro (bisseção/iteração). Vou mostrar tentativa/afinação (método simples e confiável): testar valores de
até a expressão ficar próxima de
.
A equação acima não admite solução algébrica simples para
Passo 6
Primeiras tentativas para localizar o intervalo da raiz (mostrar contas para entender o sinal):
Calcule a função
Calcule a função
Testes:
- Para
(5%):
Como
, a TIR é maior que
(ou seja, para taxa pequena o PV da anuidade é muito grande).
- Para
(10%):
Como
, a TIR é menor que
.
Portanto a TIR está em algum ponto entre
e
. Vamos afinar.
Passo 7
Afinação do intervalo com mais testes (mostrar cálculos intermediários):
- Para
(8%):
Ainda maior que
so TIR
.
- Para
(8,5%):
Agora
. Portanto a TIR está entre
e
.
Passo 8
Refinamento final por interpolação/tentativas (para ter precisão prática suficiente na prova):
Testes próximos:
Testes próximos:
- Para
(8,4%):
Maior que
→ TIR
.
- Para
(8,45%):
Ainda ligeiramente maior que
.
- Para
(8,46%):
Agora ligeiramente menor que
.
A raiz está entre
e
. Fazendo uma interpolação linear rápida entre esses pontos (ou mais uma iteração) dá aproximadamente
, isto é cerca de
ao ano.
Passo 9
Interpretação e dica prática para a prova:
Portanto a TIR anual do projeto é aproximadamente . Na prova, se você tiver calculadora financeira ou planilha, basta inserir o fluxo
e calcular IRR para obter o mesmo resultado mais rapidamente. Se só tiver a calculadora comum, use o método de tentativas mostrado (ou bisseção) para refinar até a precisão requerida.
Portanto a TIR anual do projeto é aproximadamente