Calcular a TIR de um projeto que requer um investimento inicial de \ 2.000 .000 e produz um fluxo de caixa de$240.000$ /ano durante 15 anos.

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos:
Temos um projeto que exige um investimento inicial de \$\,2{.}000{.}000 (um desembolso no tempo zero) e gera um fluxo de caixa constante de \$\,240{.}000 por ano durante 15 anos.
A pergunta: calcular a Taxa Interna de Retorno (TIR) desse projeto — ou seja, encontrar a taxa anual r que faz o Valor Presente Líquido (VPL ou NPV) igual a zero.
Dados relevantes (transcritos explicitamente):
  • investimento inicial: -\$\,2{.}000{.}000 no tempo t=0,
  • fluxo anual constante: \$\,240{.}000 para t=1,2,\dots,15,
  • horizonte: n=15 anos,
  • queremos r tal que \text{VPL}(r)=0.

Passo 2

O que é a TIR e como se relaciona com o VPL (explicação didática e simples):
A TIR é a taxa r que faz o VPL igual a zero. O VPL é a soma dos fluxos descontados menos o investimento inicial. Em notação:
\text{VPL}(r)= -2{.}000{.}000 + \sum_{t=1}^{15} \frac{240{.}000}{(1+r)^t}.
A TIR é a solução r tal que \text{VPL}(r)=0. Ou seja, buscamos r que satisfaz:
-2{.}000{.}000 + \sum_{t=1}^{15} \frac{240{.}000}{(1+r)^t = 0}.
(Agora vamos transformar a soma numa fórmula mais prática.)

Passo 3

Fórmula do valor presente de uma anuidade (passo-a-passo e por que ela vale):
A soma dos descontos dos pagamentos anuais iguais forma uma série geométrica. A soma
\sum_{t=1}^{n} \frac{1}{(1+r)^t}
pode ser escrita e simplificada usando a fórmula da soma de uma série geométrica. O resultado padrão (valor presente de uma anuidade de 1 por período) é:
\sum_{t=1}^{n} \frac{1}{(1+r)^t} = \frac{1-(1+r)^{-n}}{r}.
Breve derivação (intuitiva): multiplica-se a soma por (1+r), subtrai-se da soma original e resolve-se para a soma; o que sobra é exatamente a expressão acima. Aqui:
  • n é o número de períodos ( n=15),
  • r é a taxa por período (ano),
  • (1+r)^{-n} é o fator de desconto até o último pagamento.
Assim, o valor presente dos \$\,240{.}000 por ano é
240{.}000 \cdot \frac{1-(1+r)^{-15}}{r}.

Passo 4

Escrever a equação da TIR usando a fórmula da anuidade e isolar a quantidade numérica:
Substituindo no VPL e pedindo que seja zero:
-2{.}000{.}000 + 240{.}000 \cdot \frac{1-(1+r)^{-15}}{r} = 0.
Reorganizando, obtemos a equação que determina r:
\frac{1-(1+r)^{-15}}{r} = \frac{2{.}000{.}000}{240{.}000}.
Calcule o lado direito:
\frac{2{.}000{.}000}{240{.}000} = \frac{2000}{240} = 8{,}333333\ldots
Logo precisamos de r que satisfaça
\frac{1-(1+r)^{-15}}{r} = 8{,}333333\ldots

Passo 5

Observação sobre solução analítica vs. numérica e método escolhido (explicado como se estivesse na prova):
A equação acima não admite solução algébrica simples para r; portanto usa-se método numérico (tentar taxas e ver se o lado esquerdo é maior ou menor que 8{,}3333). Na prova você pode usar: calculadora financeira (função IRR ou solver), planilha, ou fazer tentativa e erro (bisseção/iteração). Vou mostrar tentativa/afinação (método simples e confiável): testar valores de r até a expressão ficar próxima de 8{,}3333.

Passo 6

Primeiras tentativas para localizar o intervalo da raiz (mostrar contas para entender o sinal):
Calcule a função
g(r)=\frac{1-(1+r)^{-15}}{r}.
Testes:
  • Para r=0{,}05 (5%):
(1{,}05)^{15}\approx 2{,}0789\quad\Rightarrow\quad (1{,}05)^{-15}\approx 0{,}4809,
g(0{,}05)=\frac{1-0{,}4809}{0{,}05}=\frac{0{,}5191}{0{,}05}\approx 10{,}3819.
Como g(0{,}05)>8{,}3333, a TIR é maior que 5\% (ou seja, para taxa pequena o PV da anuidade é muito grande).
  • Para r=0{,}10 (10%):
(1{,}10)^{15}\approx 4{,}1772\quad\Rightarrow\quad (1{,}10)^{-15}\approx 0{,}2394,
g(0{,}10)=\frac{1-0{,}2394}{0{,}10}=\frac{0{,}7606}{0{,}10}\approx 7{,}606.
Como g(0{,}10)<8{,}3333, a TIR é menor que 10\%.
Portanto a TIR está em algum ponto entre 5\% e 10\%. Vamos afinar.

Passo 7

Afinação do intervalo com mais testes (mostrar cálculos intermediários):
  • Para r=0{,}08 (8%):
(1{,}08)^{15}\approx 3{,}1730\quad\Rightarrow\quad (1{,}08)^{-15}\approx 0{,}3152,
g(0{,}08)=\frac{1-0{,}3152}{0{,}08}=\frac{0{,}6848}{0{,}08}\approx 8{,}560.
Ainda maior que 8{,}3333 so TIR >8\%.
  • Para r=0{,}085 (8,5%):
(1{,}085)^{15}\approx 3{,}398\quad\Rightarrow\quad (1{,}085)^{-15}\approx 0{,}2943,
g(0{,}085)=\frac{1-0{,}2943}{0{,}085}=\frac{0{,}7057}{0{,}085}\approx 8{,}307.
Agora g(0{,}085)<8{,}3333. Portanto a TIR está entre 8{,}0\% e 8{,}5\%.

Passo 8

Refinamento final por interpolação/tentativas (para ter precisão prática suficiente na prova):
Testes próximos:
  • Para r=0{,}084 (8,4%):
(1{,}084)^{15}\approx 3{,}360\quad\Rightarrow\quad (1{,}084)^{-15}\approx 0{,}2976,
g(0{,}084)=\frac{1-0{,}2976}{0{,}084}=\frac{0{,}7024}{0{,}084}\approx 8{,}362.
Maior que 8{,}3333 → TIR >8{,}4\%.
  • Para r=0{,}0845 (8,45%):
(1{,}0845)^{15}\approx 3{,}379\quad\Rightarrow\quad (1{,}0845)^{-15}\approx 0{,}2959,
g(0{,}0845)=\frac{1-0{,}2959}{0{,}0845}=\frac{0{,}7041}{0{,}0845}\approx 8{,}336.
Ainda ligeiramente maior que 8{,}3333.
  • Para r=0{,}0846 (8,46%):
(1{,}0846)^{15}\approx 3{,}384\quad\Rightarrow\quad (1{,}0846)^{-15}\approx 0{,}2955,
g(0{,}0846)=\frac{1-0{,}2955}{0{,}0846}=\frac{0{,}7045}{0{,}0846}\approx 8{,}324.
Agora ligeiramente menor que 8{,}3333.
A raiz está entre 0{,}0845 e 0{,}0846. Fazendo uma interpolação linear rápida entre esses pontos (ou mais uma iteração) dá aproximadamente r\approx 0{,}08452, isto é cerca de 8{,}452\% ao ano.

Passo 9

Interpretação e dica prática para a prova:
Portanto a TIR anual do projeto é aproximadamente 8{,}45\%. Na prova, se você tiver calculadora financeira ou planilha, basta inserir o fluxo -2{.}000{.}000,\,240{.}000,\dots,240{.}000 e calcular IRR para obter o mesmo resultado mais rapidamente. Se só tiver a calculadora comum, use o método de tentativas mostrado (ou bisseção) para refinar até a precisão requerida.

Resposta

\text{TIR} \approx 8{,}45\%

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