Uma empresa de injeção de copos plásticos está investindo em uma nova máquina para fornecer a seus clientes a opção de copos de festa. A demanda prevista para esse tipo de produto é de cerca de 150 K unidades para o primeiro ano e 250 K unidades para o segundo ano. Sendo a capacidade máxima de injeção de cada máquina que a empresa ira comprar de 100 K unidades por ano.
Considere que cada máquina possua um custo fixo de \mathrm{R} \ 150 \mathrm{~K} por ano e um custo variável de processamento deá\mathrm{R} $1 por unidade. A empresa prevê cobrarê\mathrm{R} $ 5$ por unidade vendida. Qual será o lucro provável que a empresa obterá no primeiro e no segundo ano?

Passo 1

O enunciado pede o lucro provável da empresa no primeiro e no segundo ano. Dados fornecidos:
  • Demanda no primeiro ano: Q_1 = 150{,}000 unidades.
  • Demanda no segundo ano: Q_2 = 250{,}000 unidades.
  • Capacidade máxima por máquina: \text{cap} = 100{,}000 unidades/ano por máquina.
  • Custo fixo por máquina por ano: \mathrm{R} \$150\mathrm{~K} (ou seja, \mathrm{R} \$ 150{,}000 por máquina/ano).
  • Custo variável (processamento) por unidade: \mathrm{R} \$ 1 por unidade.
  • Preço de venda por unidade: \mathrm{R} \$ 5 por unidade.
Perguntas explícitas:
  • Qual o lucro provável no primeiro ano?
  • Qual o lucro provável no segundo ano?

Passo 2

Estratégia e fórmulas que vamos usar (explicando cada termo):
  • Número de máquinas necessárias M deve cobrir a demanda inteira e só existem máquinas inteiras, portanto
M=\left\lceil\frac{Q}{\text{cap}}\right\rceil,
onde \lceil x\rceil é arredondamento para cima (por exemplo, se for 1{,}5 máquinas, precisa-se de 2 máquinas inteiras).
  • Receita total R (dinheiro que entra) é preço vezes quantidade:
R = p\cdot Q,
onde p é o preço de venda por unidade e Q a quantidade vendida.
  • Custo variável total CV é custo variável por unidade vezes quantidade:
CV = c_v\cdot Q,
onde c_v é o custo variável por unidade.
  • Custo fixo total CF é custo fixo por máquina vezes número de máquinas:
CF = C_{\text{máq}}\cdot M,á
onde C_{\text{máq}}á é o custo fixo anual por máquina.
  • Lucro \Pi é receita menos custos totais:
\Pi = R - (CV + CF).
Vou aplicar essas fórmulas para Q_1 e Q_2. Observação didática: como o custo variável por unidade é \mathrm{R} \$1 e o preço é \mathrm{R} \$ 5, cada unidade vendida contribui com \mathrm{R} \$ 4 para cobrir custos fixos e lucro; mas os custos fixos dependem de quantas máquinas forem compradas e, por isso, a quantidade de máquinas altera o lucro final.

Passo 3

Cálculo detalhado para o primeiro ano ( Q_1=150{,}000).
  1. Número de máquinas necessárias:
M_1=\left\lceil\frac{150{,}000}{100{,}000}\right\rceil=\left\lceil 1{,}5\right\rceil=2.
Explicando: 1,5 máquinas não existe, precisa-se comprar 2 máquinas inteiras.
  1. Receita total no ano 1:
R_1 = p\cdot Q_1 = 5\cdot 150{,}000 = 750{,}000.
  1. Custo variável total no ano 1:
CV_1 = c_v\cdot Q_1 = 1\cdot 150{,}000 = 150{,}000.
  1. Custo fixo total no ano 1:
CF_1 = C_{\text{máq}}\cdot M_1 = 150{,}000\cdot 2 = 300{,}000.á
  1. Custo total e lucro no ano 1:
\text{Custo total}_1 = CV_1 + CF_1 = 150{,}000 + 300{,}000 = 450{,}000.
\Pi_1 = R_1 - \text{Custo total}_1 = 750{,}000 - 450{,}000 = 300{,}000.
Passo didático extra (ajuda para prova): pode-se ver como média por unidade:
  • Margem por unidade antes dos fixos: p - c_v = 5 - 1 = 4 (ou \mathrm{R} \$ 4 por unidade).
  • Custo fixo médio por unidade no ano 1: \dfrac{CF_1}{Q_1}=\dfrac{300{,}000}{150{,}000}=2 (ou \mathrm{R} \$ 2 por unidade).
  • Lucro por unidade efetivo: 4 - 2 = 2, e multiplicando por 150{,}000 \mathrm{R} \$ 300{,}000, consistente com o cálculo acima.

Passo 4

Cálculo detalhado para o segundo ano ( Q_2=250{,}000).
  1. Número de máquinas necessárias:
M_2=\left\lceil\frac{250{,}000}{100{,}000}\right\rceil=\left\lceil 2{,}5\right\rceil=3.
  1. Receita total no ano 2:
R_2 = p\cdot Q_2 = 5\cdot 250{,}000 = 1{,}250{,}000.
  1. Custo variável total no ano 2:
CV_2 = c_v\cdot Q_2 = 1\cdot 250{,}000 = 250{,}000.
  1. Custo fixo total no ano 2:
CF_2 = C_{\text{máq}}\cdot M_2 = 150{,}000\cdot 3 = 450{,}000.á
  1. Custo total e lucro no ano 2:
\text{Custo total}_2 = CV_2 + CF_2 = 250{,}000 + 450{,}000 = 700{,}000.
\Pi_2 = R_2 - \text{Custo total}_2 = 1{,}250{,}000 - 700{,}000 = 550{,}000.
Passo didático extra: margem por unidade antes dos fixos continua 4. Custo fixo médio por unidade no ano 2: \dfrac{450{,}000}{250{,}000}=1{,}8. Lucro por unidade efetivo: 4 - 1{,}8 = 2{,}2. Multiplicando por 250{,}000 \mathrm{R} \$ 550{,}000.

Passo 5

Interpretação rápida e incentivo:
  • No primeiro ano a empresa lucra menos por unidade por causa do efeito de comprar máquinas a mais do que a demanda/100k (economia de escala melhora quando a produção aumenta).
  • No segundo ano o lucro total sobe porque, mesmo comprando 3 máquinas, a maior produção faz o custo fixo médio por unidade cair, aumentando o lucro por unidade.
    Boa! Esses são cálculos diretos que você consegue reproduzir rápido na prova: calcular quantas máquinas (arredondar pra cima), receita, custos e subtrair.

Resposta

Ano 1: \mathrm{R} \$ 300\mathrm{~K}
Ano 2: \mathrm{R} \$ 550\mathrm{~K}

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