Uma empresa localizada na cidade de Alegrete possui um tanque de sedimentação alimentado com uma suspensão de concentração 0,08 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. O lodo formado no processo possui concentração de 0,25 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Sabe-se que a massa específica das partículas é 2,25 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e que a vazão de alimentação da suspensão é de 420 \times 10^{3} \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{min}^{2}. considere a massa específica da água 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e determine qual a altura deste sedimentador. o ensaio de proveta conduziu aos seguintes resultados abaixo.
\mathrm{t}(\min ) 0 2 5 10 14 18 23 26 30 33 40 45
\mathrm{Z}(\mathrm{cm}) 39 36 33,5 25 19,8 12,6 8,5 7,4 6,3 5,5 4,8 4,6

Passo 1

O enunciado pede: determinar a altura do sedimentador usando os dados do ensaio de proveta. Informações fornecidas (peguei os valores diretamente do enunciado e da tabela):
  • concentração da alimentação (suspensão): C_i = 0,08\\ \mathrm{g/cm^3};
  • concentração do lodo formado (lodo espessado): C_b = 0,25\\ \mathrm{g/cm^3};
  • densidade das partículas: \rho_p = 2,25\\ \mathrm{g/cm^3} (informação dada, não será usada na conta direta do leito comprimido);
  • densidade da água: \rho_w = 1\\ \mathrm{g/cm^3} (dada);
  • vazão de alimentação: Q = 420\times10^{3}\\ \mathrm{cm^3/min} (assumi a unidade \mathrm{cm^3/min}, que é a interpretação física correta do que foi informado);
  • resultados do ensaio de proveta: a altura inicial da suspensão na proveta (no instante t=0) é Z_0 = 39\\ \mathrm{cm} (peguei esse valor da coluna \mathrm{Z}(\mathrm{cm}) quando \mathrm{t}=0).
O que exatamente se pede: “qual a altura deste sedimentador”. Para isso usaremos a conservação de massa dos sólidos do ensaio de proveta e a concentração final do lodo C_b fornecida, para obter a espessura do leito de lodo compactado que será formado no sedimentador (essa espessura é a altura mínima necessária para acomodar o lodo compactado).

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vou usar (explicação didática e passo a passo):
  • No ensaio de proveta, inicialmente tinha-se uma coluna de suspensão homogênea com altura Z_0 e concentração de sólidos C_i. A massa de sólidos por unidade de área vertical nessa coluna é produto da concentração pelo comprimento da coluna:
\text{massa de sólidos por área} = C_i \cdot Z_0.óá
Aqui cada termo significa:
  • C_i em \mathrm{g/cm^3} é massa de sólidos por volume;
  • Z_0 em \mathrm{cm} é a altura da coluna; o produto tem unidades \mathrm{g/cm^2} (massa por unidade de área), que é o que devemos conservar verticalmente.
  • Depois que todo o sólido sedimenta e forma o lodo compactado com concentração C_b, essa mesma massa de sólidos por unidade de área está contida no leito final de altura Z_b:
C_b \cdot Z_b = C_i \cdot Z_0.
Essa equação é simplesmente conservação de massa dos sólidos por unidade de área (não estamos considerando perdas).
  • Portanto, isolando Z_b (a altura do leito de lodo compactado) obtemos:
Z_b = \frac{C_i \cdot Z_0}{C_b}.
Observações didáticas:
  • Todas as concentrações aqui são frações de massa por volume (g/cm^3). Multiplicar por uma altura (cm) dá massa por área (g/cm^2) — consistente para comparação.
  • A interpretação prática: se toda a suspensão inicial de altura Z_0 compactar até a concentração C_b, o leito final terá altura Z_b. Esse Z_b é a altura mínima que o sedimentador precisa para acomodar o lodo formado (antes de considerar folgas, acesso, variação operacional, etc.).

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números (passo a passo, contas mostradas):
  • Substituindo C_i = 0,08\\ \mathrm{g/cm^3}, Z_0 = 39\\ \mathrm{cm} e C_b = 0,25\\ \mathrm{g/cm^3}:
Z_b = \frac{0,08 \cdot 39}{0,25}.
  • Calcule o numerador:
0,08 \cdot 39 = 3,12\\ (\mathrm{g/cm^2}).
  • Agora divida pelo denominador:
Z_b = \frac{3,12}{0,25} = 12,48\\ \mathrm{cm}.
Interpretação do cálculo: a massa de sólidos contida na coluna inicial de 39\\ \mathrm{cm} de suspensão, ao ser comprimida até 0,25\\ \mathrm{g/cm^3}, ocupará um leito de lodo com altura 12,48\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Comentários práticos e conclusão didática:
  • O valor Z_b=12,48\\ \mathrm{cm} é a altura do leito de lodo compactado que corresponde exatamente ao material que estava inicialmente na proveta de 39\\ \mathrm{cm}.
  • Em projeto real de um sedimentador deve-se ainda prever:
    • uma zona de água clarificada acima do leito (altura livre para escoamento);
    • uma margem de segurança (freeboard) para evitar arraste durante variações de operação;
    • acesso para remoção do lodo, etc.
      Essas adições não foram pedidas numericamente no enunciado, que solicitou apenas a altura resultante da conservação de massa do ensaio.

Resposta

12,48 cm

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