Uma empresa localizada na cidade de Alegrete possui um tanque de sedimentação alimentado com uma suspensão de concentração
. O lodo formado no processo possui concentração de
. Sabe-se que a massa específica das partículas é
e que a vazão de alimentação da suspensão é de
. considere a massa específica da água
e determine qual a altura deste sedimentador. o ensaio de proveta conduziu aos seguintes resultados abaixo.
0
2
5
10
14
18
23
26
30
33
40
45
39
36
33,5
25
19,8
12,6
8,5
7,4
6,3
5,5
4,8
4,6
|
|
0 | 2 | 5 | 10 | 14 | 18 | 23 | 26 | 30 | 33 | 40 | 45 |
|
|
39 | 36 | 33,5 | 25 | 19,8 | 12,6 | 8,5 | 7,4 | 6,3 | 5,5 | 4,8 | 4,6 |
Passo 1
O enunciado pede: determinar a altura do sedimentador usando os dados do ensaio de proveta. Informações fornecidas (peguei os valores diretamente do enunciado e da tabela):
- concentração da alimentação (suspensão):
; - concentração do lodo formado (lodo espessado):
; - densidade das partículas:
(informação dada, não será usada na conta direta do leito comprimido); - densidade da água:
(dada); - vazão de alimentação:
(assumi a unidade , que é a interpretação física correta do que foi informado); - resultados do ensaio de proveta: a altura inicial da suspensão na proveta (no instante
) é (peguei esse valor da coluna quando ).
O que exatamente se pede: “qual a altura deste sedimentador”. Para isso usaremos a conservação de massa dos sólidos do ensaio de proveta e a concentração final do lodo
fornecida, para obter a espessura do leito de lodo compactado que será formado no sedimentador (essa espessura é a altura mínima necessária para acomodar o lodo compactado).
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vou usar (explicação didática e passo a passo):
- No ensaio de proveta, inicialmente tinha-se uma coluna de suspensão homogênea com altura
e concentração de sólidos . A massa de sólidos por unidade de área vertical nessa coluna é produto da concentração pelo comprimento da coluna:
Aqui cada termo significa:
-
em é massa de sólidos por volume; -
em é a altura da coluna; o produto tem unidades (massa por unidade de área), que é o que devemos conservar verticalmente. -
Depois que todo o sólido sedimenta e forma o lodo compactado com concentração
, essa mesma massa de sólidos por unidade de área está contida no leito final de altura :
Essa equação é simplesmente conservação de massa dos sólidos por unidade de área (não estamos considerando perdas).
- Portanto, isolando
(a altura do leito de lodo compactado) obtemos:
Observações didáticas:
- Todas as concentrações aqui são frações de massa por volume (g/cm^3). Multiplicar por uma altura (cm) dá massa por área (g/cm^2) — consistente para comparação.
- A interpretação prática: se toda a suspensão inicial de altura
compactar até a concentração , o leito final terá altura . Esse é a altura mínima que o sedimentador precisa para acomodar o lodo formado (antes de considerar folgas, acesso, variação operacional, etc.).
Passo 3
Aplicando a fórmula com os números (passo a passo, contas mostradas):
- Substituindo
, e :
- Calcule o numerador:
- Agora divida pelo denominador:
Interpretação do cálculo: a massa de sólidos contida na coluna inicial de
de suspensão, ao ser comprimida até
, ocupará um leito de lodo com altura
.
Passo 4
Comentários práticos e conclusão didática:
- O valor
é a altura do leito de lodo compactado que corresponde exatamente ao material que estava inicialmente na proveta de . - Em projeto real de um sedimentador deve-se ainda prever:
- uma zona de água clarificada acima do leito (altura livre para escoamento);
- uma margem de segurança (freeboard) para evitar arraste durante variações de operação;
- acesso para remoção do lodo, etc.
Essas adições não foram pedidas numericamente no enunciado, que solicitou apenas a altura resultante da conservação de massa do ensaio.
Resposta
12,48 cm