Uma pessoa precisa de um empréstimo de \ 10.000$ por um período de 2 anos. Oferecem-lhe o dinheiro nas seguintes condições:
a. Juros nominais de 5 \% a.a. capitalizados trimestralmente;
b. Juros nominais de 6 \% a.a. capitalizada semestralmente.
Quanto pagará em cada uma das situações e qual delas deve escolher

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá o valor do empréstimo: \$10\,000.
  • Dá o prazo: 2 anos.
  • Dá duas ofertas:
    • (a) juros nominais de 5\% a.a. capitalizados trimestralmente;
    • (b) juros nominais de 6\% a.a. capitalizados semestralmente.
  • Pede: quanto será pago em cada situação (valor acumulado ao final de 2 anos) e qual oferta convém escolher.

Passo 2

Conceitos essenciais que vamos usar (explicação didática e fórmula):
  • Juros compostos: quando os juros de cada período entram no capital do período seguinte, o montante final é dado por
A = P(1+i)^n,
onde:
  • P é o capital inicial (a quantia emprestada);
  • i é a taxa de juros por período (não a taxa anual nominal, a taxa do período de capitalização);
  • n é o número total de períodos de capitalização no prazo.
  • Relação entre taxa nominal anual e taxa por período: se a taxa nominal anual é j_{\text{nom}} e a capitalização é m vezes por ano, então a taxa por período é
i=\dfrac{j_{\text{nom}}}{m},
e o número total de períodos em t anos é
n = m\cdot t.
  • Alternativa útil (intuição): podemos comparar também as taxas efetivas anuais (EAR), calculadas por
\text{EAR}=(1+i)^m-1,
onde i é a taxa por período (como acima) e m o número de períodos por ano. A menor EAR indica o empréstimo mais barato por ano.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso (a) — juros nominais de 5\% a.a. capitalizados trimestralmente:
  • Aqui j_{\text{nom}}=0{,}05 (isto é 5\%), m=4 (trimestres por ano) e t=2 anos.
  • Taxa por período:
i_a=\dfrac{0{,}05}{4}=0{,}0125\quad\text{(por trimestre)}.
  • Número total de períodos:
n_a=4\cdot 2=8\quad\text{(trimestres)}.
  • Montante após 2 anos:
A_a = 10\,000\,(1+0{,}0125)^8.
Vamos calcular (1+0{,}0125)^8 passo a passo (multiplicando trimestre a trimestre) para ficar didático:
\begin{aligned} 1{,}0125^1&=1{,}0125,\\\\ 1{,}0125^2&=1{,}02515625,\\\\ 1{,}0125^3&\approx1{,}037970703125,\\\\ 1{,}0125^4&\approx1{,}0509453369140625,\\\\ 1{,}0125^5&\approx1{,}0640821536254883,\\\\ 1{,}0125^6&\approx1{,}0773831805458069,\\\\ 1{,}0125^7&\approx1{,}0908504703026295,\\\\ 1{,}0125^8&\approx1{,}1044861011814124. \end{aligned}
Logo
A_a = 10\,000\times1{,}1044861011814124\approx 11\,044{,}86.
(Arredondei para centavos: \$11\,044{,}86.)

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso (b) — juros nominais de 6\% a.a. capitalizados semestralmente:
  • Aqui j_{\text{nom}}=0{,}06, m=2 (semestral) e t=2 anos.
  • Taxa por período:
i_b=\dfrac{0{,}06}{2}=0{,}03\quad\text{(por semestre)}.
  • Número total de períodos:
n_b=2\cdot 2=4\quad\text{(semestres)}.
  • Montante após 2 anos:
A_b = 10\,000\,(1+0{,}03)^4.
Calculemos passo a passo:
\begin{aligned} (1{,}03)^2&=1{,}0609,\\\ (1{,}03)^4&=(1{,}0609)^2=1{,}12550881. \end{aligned}
Logo
A_b = 10\,000\times1{,}12550881\approx 11\,255{,}09.
(Arredondei para centavos: \$11\,255{,}09.)

Passo 5

Comparação e interpretação (por que escolher uma ou outra):
  • O total a pagar em (a) é \$11\,044{,}86.
  • O total a pagar em (b) é \$11\,255{,}09.
  • Como \$11\,044{,}86 < \$11\,255{,}09, a oferta (a) é mais barata em termos do montante final.
  • Intuição via taxa efetiva anual (opcional, para entender):
    • Para (a) a taxa efetiva anual é (1+0{,}0125)^4-1\approx0{,}050945 ou 5{,}0945\% ao ano.
    • Para (b) a taxa efetiva anual é (1+0{,}03)^2-1=0{,}0609 ou 6{,}09\% ao ano.
    • A menor taxa efetiva anual (caso (a)) corresponde ao menor custo total.

Resposta

(a) \$11\,044{,}86
(b) \$11\,255{,}09
Melhor escolha: \text{(a) — juros nominais de }5\%\text{ a.a. capitalizados trimestralmente}

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