Uma pessoa precisa de um empréstimo de
10.000$ por um período de 2 anos. Oferecem-lhe o dinheiro nas seguintes condições:
a. Juros nominais de
a.a. capitalizados trimestralmente;
b. Juros nominais de
a.a. capitalizada semestralmente.
Quanto pagará em cada uma das situações e qual delas deve escolher
a. Juros nominais de
b. Juros nominais de
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá o valor do empréstimo:
. - Dá o prazo:
anos. - Dá duas ofertas:
- (a) juros nominais de
a.a. capitalizados trimestralmente; - (b) juros nominais de
a.a. capitalizados semestralmente.
- (a) juros nominais de
- Pede: quanto será pago em cada situação (valor acumulado ao final de
anos) e qual oferta convém escolher.
Passo 2
Conceitos essenciais que vamos usar (explicação didática e fórmula):
- Juros compostos: quando os juros de cada período entram no capital do período seguinte, o montante final é dado por
onde:
-
é o capital inicial (a quantia emprestada); -
é a taxa de juros por período (não a taxa anual nominal, a taxa do período de capitalização); -
é o número total de períodos de capitalização no prazo. - Relação entre taxa nominal anual e taxa por período: se a taxa nominal anual é
e a capitalização é vezes por ano, então a taxa por período é
e o número total de períodos em
anos é
- Alternativa útil (intuição): podemos comparar também as taxas efetivas anuais (EAR), calculadas por
onde
é a taxa por período (como acima) e
o número de períodos por ano. A menor EAR indica o empréstimo mais barato por ano.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso (a) — juros nominais de
a.a. capitalizados trimestralmente:
- Aqui
(isto é ), (trimestres por ano) e anos. - Taxa por período:
- Número total de períodos:
- Montante após
anos:
Vamos calcular
passo a passo (multiplicando trimestre a trimestre) para ficar didático:
Logo
(Arredondei para centavos:
.)
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso (b) — juros nominais de
a.a. capitalizados semestralmente:
- Aqui
, (semestral) e anos. - Taxa por período:
- Número total de períodos:
- Montante após
anos:
Calculemos passo a passo:
Logo
(Arredondei para centavos:
.)
Passo 5
Comparação e interpretação (por que escolher uma ou outra):
- O total a pagar em (a) é
. - O total a pagar em (b) é
. - Como
, a oferta (a) é mais barata em termos do montante final. - Intuição via taxa efetiva anual (opcional, para entender):
- Para (a) a taxa efetiva anual é
ou ao ano. - Para (b) a taxa efetiva anual é
ou ao ano. - A menor taxa efetiva anual (caso (a)) corresponde ao menor custo total.
- Para (a) a taxa efetiva anual é
Resposta
(a)
(b)
Melhor escolha:
(b)
Melhor escolha: