Uma pessoa tem uma dívida formada por três parcelas com vencimentos daqui a 2 meses, 4 meses e 6 meses com os valores de
800, $1000
$ 600
2 %
4 %$ a.m. Quanto essa pessoa teria de pagar para quitar a dívida hoje e daqui a 1 ano?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tirei tudo do texto da questão):
- Há três parcelas com vencimentos daqui a
, e meses. - Os valores das parcelas são, respectivamente,
, e . - A dívida “original” está a juros de
ao mês. - O credor oferece duas opções: liquidar a dívida imediatamente (hoje) ou pagar o total daqui a
ano (12 meses) aos juros de ao mês.
O que a questão pede:
- Quanto a pessoa teria de pagar para quitar a dívida hoje?
- Quanto a pessoa teria de pagar para quitar o total daqui a 1 ano, segundo a proposta (juros de
a.m.)?
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Juros compostos: quando um valor
cresce ou é descontado mês a mês com taxa mensal , a relação entre valor futuro e valor presente é
onde
-
é o valor presente (hoje), -
é o valor futuro depois de períodos (meses), -
é a taxa por período (por exemplo, para ), -
é o número de períodos (meses). - Para trazer um valor futuro
para o presente (descontar), usamos a fórmula inversa
Explicação em palavras: cada parcela que vence em
meses vale menos hoje; para saber quanto pagar hoje para quitá-la, divide-se o valor daquela parcela por
. Já para adiantar um pagamento para um momento futuro, capitaliza-se pelo fator
.
Notas práticas para esta questão:
- Todas as taxas estão em termos mensais, e os prazos também em meses, então só aplicar
igual ao número de meses de diferença. - Para calcular quanto pagar hoje, vamos descontar cada parcela com
conforme seu prazo até hoje. - Para calcular quanto pagar em 1 ano segundo a proposta de juros de
a.m., uma leitura natural é: cada parcela que era para vencer em meses será postergada para meses e, por essa postergação, sofrerá capitalização por meses à taxa por mês. Vou adotar essa interpretação porque o credor está cobrando ao mês pelo adiamento até ano.
Passo 3
Calcular o valor que precisa ser pago hoje (descontar cada parcela a
ao mês).
Para cada parcela:
- Parcela de
com vencimento em meses: o valor presente é
Calculemos
. Então
- Parcela de
com vencimento em meses: o valor presente é
Calculemos
. Então
- Parcela de
com vencimento em meses: o valor presente é
Calculemos
(aprox.). Então
Somando as três parcelas trazidas ao valor presente:
Portanto, para quitar a dívida hoje a uma taxa de desconto de
a.m., a pessoa teria de pagar aproximadamente
.
Passo 4
Calcular o valor a pagar daqui a 1 ano segundo a proposta de
ao mês (interpretação: cada parcela é capitalizada de seu vencimento até o mês 12 à taxa
ao mês).
Para cada parcela, o número de meses de capitalização até o mês 12 é
, com
sendo
.
Fórmula para cada parcela trazida a 12 meses:
Aplicando:
- Para
com : multiplicar por . - Para
com : multiplicar por . - Para
com : multiplicar por .
Agora os fatores numéricos:
-
, -
, -
.
Multiplicando:
Somando para obter o total a pagar em 12 meses:
Então, se a pessoa aceitar pagar o total daqui a 1 ano com capitalização de
ao mês desde cada vencimento até o mês 12, ela terá de pagar aproximadamente
.
Passo 5
Comentário final (motivação e verificação rápida): a opção de pagar hoje sai bem mais barata porque a taxa cobrada originalmente é
e o adiamento ao ano com
ao mês é uma taxa muito elevada (juros compostos crescem rápido). Os cálculos seguiram as fórmulas padrão de juros compostos e de desconto, cuidando para usar meses como unidade de tempo.