Uma pessoa tem uma dívida formada por três parcelas com vencimentos daqui a 2 meses, 4 meses e 6 meses com os valores de \ 800, $1000 e$ 600 , respectivamente, aos juros de2 % ao mês. O credor sugere que a dívida seja liquidada imediatamente, ou que o total seja pago em um ano aos juros deêí4 %$ a.m. Quanto essa pessoa teria de pagar para quitar a dívida hoje e daqui a 1 ano?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei tudo do texto da questão):
  • Há três parcelas com vencimentos daqui a 2, 4 e 6 meses.
  • Os valores das parcelas são, respectivamente, \$800, \$1000 e \$600.
  • A dívida “original” está a juros de 2\% ao mês.
  • O credor oferece duas opções: liquidar a dívida imediatamente (hoje) ou pagar o total daqui a 1 ano (12 meses) aos juros de 4\% ao mês.
O que a questão pede:
  1. Quanto a pessoa teria de pagar para quitar a dívida hoje?
  2. Quanto a pessoa teria de pagar para quitar o total daqui a 1 ano, segundo a proposta (juros de 4\% a.m.)?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Juros compostos: quando um valor cresce ou é descontado mês a mês com taxa mensal , a relação entre valor futuro e valor presente é
F = P(1+i)^{n},
onde
  • é o valor presente (hoje),
  • é o valor futuro depois de períodos (meses),
  • é a taxa por período (por exemplo, 0,02 para 2\%),
  • é o número de períodos (meses).
  • Para trazer um valor futuro para o presente (descontar), usamos a fórmula inversa
P = \frac{F}{(1+i)^{n}}.
Explicação em palavras: cada parcela que vence em n meses vale menos hoje; para saber quanto pagar hoje para quitá-la, divide-se o valor daquela parcela por (1+i)^{n}. Já para adiantar um pagamento para um momento futuro, capitaliza-se pelo fator (1+i)^{n}.
Notas práticas para esta questão:
  • Todas as taxas estão em termos mensais, e os prazos também em meses, então só aplicar n igual ao número de meses de diferença.
  • Para calcular quanto pagar hoje, vamos descontar cada parcela com i=0,02 conforme seu prazo até hoje.
  • Para calcular quanto pagar em 1 ano segundo a proposta de juros de 4\% a.m., uma leitura natural é: cada parcela que era para vencer em t meses será postergada para 12 meses e, por essa postergação, sofrerá capitalização por 12-t meses à taxa i=0,04 por mês. Vou adotar essa interpretação porque o credor está cobrando 4\% ao mês pelo adiamento até 1 ano.

Passo 3

Calcular o valor que precisa ser pago hoje (descontar cada parcela a 2\% ao mês).
Para cada parcela:
  • Parcela de \$800 com vencimento em 2 meses: o valor presente é
\frac{800}{(1+0,02)^{2}}=\frac{800}{1,02^{2}}.
Calculemos 1,02^{2}=1,0404. Então
\frac{800}{1,0404}\approx 768,935\ldots
  • Parcela de \$1000 com vencimento em 4 meses: o valor presente é
\frac{1000}{1,02^{4}}.
Calculemos 1,02^{4}=1{,}08243216. Então
\frac{1000}{1{,}08243216}\approx 923,845\ldots
  • Parcela de \$600 com vencimento em 6 meses: o valor presente é
\frac{600}{1,02^{6}}.
Calculemos 1,02^{6}=1{,}126162419264 (aprox.). Então
\frac{600}{1{,}12616242}\approx 532,754\ldots
Somando as três parcelas trazidas ao valor presente:
P_{\text{hoje}} \approx 768,935 + 923,845 + 532,754 \approx 2\,225,53.
Portanto, para quitar a dívida hoje a uma taxa de desconto de 2\% a.m., a pessoa teria de pagar aproximadamente \$2.225,53.

Passo 4

Calcular o valor a pagar daqui a 1 ano segundo a proposta de 4\% ao mês (interpretação: cada parcela é capitalizada de seu vencimento até o mês 12 à taxa 4\% ao mês).
Para cada parcela, o número de meses de capitalização até o mês 12 é 12-t, com t sendo 2,4,6.
Fórmula para cada parcela trazida a 12 meses:
F_{12} = F_t\,(1+0,04)^{12-t}.
Aplicando:
  • Para \$800 com t=2: multiplicar por (1{,}04)^{10}.
  • Para \$1000 com t=4: multiplicar por (1{,}04)^{8}.
  • Para \$600 com t=6: multiplicar por (1{,}04)^{6}.
Agora os fatores numéricos:
  • (1{,}04)^{6}\approx 1{,}265319,
  • (1{,}04)^{8}\approx 1{,}368569,
  • (1{,}04)^{10}\approx 1{,}480244.
Multiplicando:
800\cdot(1{,}04)^{10}\approx 800\cdot1{,}480244\approx 1\,184,20,
1000\cdot(1{,}04)^{8}\approx 1000\cdot1{,}368569\approx 1\,368,57,
600\cdot(1{,}04)^{6}\approx 600\cdot1{,}265319\approx 759,19.
Somando para obter o total a pagar em 12 meses:
F_{\text{12 meses}} \approx 1\,184,20 + 1\,368,57 + 759,19 \approx 3\,311,96.
Então, se a pessoa aceitar pagar o total daqui a 1 ano com capitalização de 4\% ao mês desde cada vencimento até o mês 12, ela terá de pagar aproximadamente \$3.311,96.

Passo 5

Comentário final (motivação e verificação rápida): a opção de pagar hoje sai bem mais barata porque a taxa cobrada originalmente é 2\% e o adiamento ao ano com 4\% ao mês é uma taxa muito elevada (juros compostos crescem rápido). Os cálculos seguiram as fórmulas padrão de juros compostos e de desconto, cuidando para usar meses como unidade de tempo.

Resposta

\$2.225,53
\$3.311,96

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