Uma empresa monopolista está decidindo sobre a precificação de seu produto para dois mercados geograficamente distantes. Os mercados são separados por distâncias geográficas relevantes, tal que o monopolista consiga sustentar discriminação de preços (i.e., praticar preços diferentes para os mercados). As funções de demanda nos dois mercados são:
\mathrm{Qa}=1000-\mathrm{P} \rightarrow função de demanda para o mercado A
\mathrm{Qb}=800-2 \mathrm{P} \rightarrow função de demanda para o mercado B
A função de custo total do monopolista é \mathrm{CT}=10.000+100(\mathrm{Qa}+\mathrm{Qb}). Supondo que ele resolva praticar discriminação de preços, calcule os preços e a produção do monopolista em cada um dos mercados. Calcule também o lucro total do monopolista.

Passo 1

O enunciado fornece as funções de demanda nos dois mercados e a função de custo total, e pede preços, quantidades em cada mercado e lucro total. Informações fornecidas:
\text{Demanda mercado A: } Q_a = 1000 - P
\text{Demanda mercado B: } Q_b = 800 - 2P
\text{Custo total: } CT = 10.000 + 100\,(Q_a+Q_b)
O que o exercício pede:
  • Calcular o preço e a produção do monopolista em cada um dos mercados (mostrar P_a, Q_a, P_b, Q_b).
  • Calcular o lucro total do monopolista.

Passo 2

Entender o custo marginal (MC) a partir do custo total, porque para maximizar lucro com discriminação por mercado igualamos a receita marginal de cada mercado ao custo marginal comum. A definição: o custo marginal é a derivada do custo total em relação à quantidade total produzida Q=Q_a+Q_b. Tomando a derivada de
CT = 10.000 + 100\,(Q_a+Q_b)
em relação a Q, obtemos
MC = \frac{dCT}{dQ} = 100.
Explicação breve: 100 é constante, então cada unidade adicional custa 100 ao monopolista. Esse MC vale para a produção marginal vendida em qualquer mercado (é o mesmo custo marginal para ambos).

Passo 3

Colocar as demandas em forma inversa P(Q) — isso facilita achar receita total e receita marginal:
Da demanda do mercado A:
Q_a = 1000 - P \quad\Rightarrow\quad P = 1000 - Q_a.
Da demanda do mercado B:
Q_b = 800 - 2P \quad\Rightarrow\quad 2P = 800 - Q_b \quad\Rightarrow\quad P = 400 - \tfrac{1}{2}Q_b.
Aqui P é o preço cobrado no respectivo mercado em função da quantidade vendida nele.

Passo 4

Derivar a receita marginal (MR) para cada mercado. Regra útil para demanda linear: se a inversa é \,P(Q)=a-bQ, então a receita total TR(Q)=P(Q)\cdot Q=aQ-bQ^2 e a receita marginal é
MR(Q)=\frac{dTR}{dQ}=a-2bQ.
Significado: a é o intercepto de preço quando Q=0 e b é a sensibilidade do preço à quantidade. Vamos aplicar essa fórmula para cada mercado.

Passo 5

Calcular MR no mercado A:
A inversa é P_a(Q_a)=1000 - Q_a, portanto aqui a=1000 e b=1. Assim
MR_a = 1000 - 2\cdot 1\cdot Q_a = 1000 - 2Q_a.
Para maximizar lucro com discriminação de preços, igualamos MR_a ao MC comum:
1000 - 2Q_a = 100.
Resolver:
2Q_a = 1000 - 100 = 900
Q_a = \frac{900}{2} = 450.

Passo 6

Calcular MR no mercado B:
A inversa é P_b(Q_b)=400 - \tfrac{1}{2}Q_b, portanto a=400 e b=\tfrac{1}{2}. Pela fórmula,
MR_b = 400 - 2\cdot\frac{1}{2}\cdot Q_b = 400 - Q_b.
Igualando ao MC:
400 - Q_b = 100
Q_b = 400 - 100 = 300.

Passo 7

Com as quantidades óbvias, calcular os preços em cada mercado usando as funções inversas encontradas no Passo 3.
Para o mercado A:
P_a = 1000 - Q_a = 1000 - 450 = 550.
Para o mercado B:
P_b = 400 - \tfrac{1}{2}Q_b = 400 - \tfrac{1}{2}\cdot 300 = 400 - 150 = 250.
Interpretação rápida: o preço no mercado A é maior ( 550) porque a curva de demanda de A é mais “valiosa” por unidade que a de B, então o monopolista cobra mais ali.

Passo 8

Calcular receita total (TR) em cada mercado e somar, para depois achar o lucro.
Receita no mercado A:
TR_a = P_a \cdot Q_a = 550 \cdot 450.
Fazendo a conta manualmente: 550\cdot 450 = 550\cdot(400+50)=550\cdot 400 + 550\cdot 50 = 220.000 + 27.500 = 247.500.
Portanto TR_a = 247.500.
Receita no mercado B:
TR_b = P_b \cdot Q_b = 250 \cdot 300 = 75.000.
Receita total:
TR = TR_a + TR_b = 247.500 + 75.000 = 322.500.

Passo 9

Calcular o custo total e o lucro.
Custo total com Q_a+Q_b = 450 + 300 = 750:
CT = 10.000 + 100\cdot 750 = 10.000 + 75.000 = 85.000.
Lucro:
\pi = TR - CT = 322.500 - 85.000 = 237.500.

Passo 10

Resumo final e checagem rápida: as condições MR_a=MC e MR_b=MC foram satisfeitas com Q_a=450 e Q_b=300. Preços correspondentes da curva de demanda estão consistentes. O lucro inclui o efeito do custo fixo 10.000.

Resposta

P_a=550,\; Q_a=450
P_b=250,\; Q_b=300
\text{Lucro total}=\;237.500

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