Uma empresa monopolista está decidindo sobre a precificação de seu produto para dois mercados geograficamente distantes. Os mercados são separados por distâncias geográficas relevantes, tal que o monopolista consiga sustentar discriminação de preços (i.e., praticar preços diferentes para os mercados). As funções de demanda nos dois mercados são:
função de demanda para o mercado A
função de demanda para o mercado B
A função de custo total do monopolista é
. Supondo que ele resolva praticar discriminação de preços, calcule os preços e a produção do monopolista em cada um dos mercados. Calcule também o lucro total do monopolista.
Passo 1
O enunciado fornece as funções de demanda nos dois mercados e a função de custo total, e pede preços, quantidades em cada mercado e lucro total. Informações fornecidas:
O que o exercício pede:
- Calcular o preço e a produção do monopolista em cada um dos mercados (mostrar
). - Calcular o lucro total do monopolista.
Passo 2
Entender o custo marginal (MC) a partir do custo total, porque para maximizar lucro com discriminação por mercado igualamos a receita marginal de cada mercado ao custo marginal comum. A definição: o custo marginal é a derivada do custo total em relação à quantidade total produzida
. Tomando a derivada de
em relação a
, obtemos
Explicação breve:
é constante, então cada unidade adicional custa
ao monopolista. Esse
vale para a produção marginal vendida em qualquer mercado (é o mesmo custo marginal para ambos).
Passo 3
Colocar as demandas em forma inversa
— isso facilita achar receita total e receita marginal:
Da demanda do mercado A:
Da demanda do mercado A:
Da demanda do mercado B:
Aqui
é o preço cobrado no respectivo mercado em função da quantidade vendida nele.
Passo 4
Derivar a receita marginal (MR) para cada mercado. Regra útil para demanda linear: se a inversa é
, então a receita total
e a receita marginal é
Significado:
é o intercepto de preço quando
e
é a sensibilidade do preço à quantidade. Vamos aplicar essa fórmula para cada mercado.
Passo 5
Calcular
no mercado A:
A inversa é , portanto aqui
e
. Assim
A inversa é
Para maximizar lucro com discriminação de preços, igualamos
ao
comum:
Resolver:
Passo 6
Calcular
no mercado B:
A inversa é , portanto
e
. Pela fórmula,
A inversa é
Igualando ao
:
Passo 7
Com as quantidades óbvias, calcular os preços em cada mercado usando as funções inversas encontradas no Passo 3.
Para o mercado A:
Para o mercado B:
Interpretação rápida: o preço no mercado A é maior (
) porque a curva de demanda de A é mais “valiosa” por unidade que a de B, então o monopolista cobra mais ali.
Passo 8
Calcular receita total (TR) em cada mercado e somar, para depois achar o lucro.
Receita no mercado A:
Fazendo a conta manualmente:
.
Portanto .
Portanto
Receita no mercado B:
Receita total:
Passo 9
Calcular o custo total e o lucro.
Custo total com
:
Lucro:
Passo 10
Resumo final e checagem rápida: as condições
e
foram satisfeitas com
e
. Preços correspondentes da curva de demanda estão consistentes. O lucro inclui o efeito do custo fixo
.