Uma empresa monopolista defronta-se com a seguinte curva de demanda inversa:
onde Q é a demanda pelo produto e P é o preço. A função de custo total da empresa é expressa pela equação:
. Considerando que todas as equações foram estimadas por meio de modelos econométricos de regressão com o uso de dados semanais, pede-se:
a) Quais serão, em cada semana, o nível de produção, o preço e o lucro total da empresa?
b) Se o custo variável aumentar para 80 Q , haverá mudanças na produção, preço e lucro da empresa monopolista? Demonstre.
onde Q é a demanda pelo produto e P é o preço. A função de custo total da empresa é expressa pela equação:
a) Quais serão, em cada semana, o nível de produção, o preço e o lucro total da empresa?
b) Se o custo variável aumentar para 80 Q , haverá mudanças na produção, preço e lucro da empresa monopolista? Demonstre.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Dados fornecidos:
Todas as equações referem-se a semanas (ou seja, resultados são por semana).
Perguntas:
a) Para cada semana, qual será o nível de produção , o preço
e o lucro total
da empresa monopolista com o custo dado acima?
b) Se o custo variável passar a ser (ou seja,
), haverá mudança em
,
e
? Calcule e demonstre.
a) Para cada semana, qual será o nível de produção
b) Se o custo variável passar a ser
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Receita total (
) é o preço vezes a quantidade vendida: . Aqui é o preço por unidade e a quantidade vendida por semana. - Para maximizar lucro, um monopolista escolhe
tal que a receita marginal ( ) seja igual ao custo marginal ( ). Isso vem do princípio: lucro ; derivando em relação a e igualando a zero dá , logo . - Receita marginal (
) é a derivada de em relação a : . - Custo marginal (
) é a derivada de em relação a : .
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo. Se alguma etapa de derivada parecer nova, explico: derivar é calcular a taxa de variação instantânea — por polinômio simples basta aplicar regras básicas (por exemplo, derivada deé ; derivada de é ).
Passo 3
Calculemos a receita total
usando a demanda inversa fornecida.
Aqui cada termo é explicado:
é a receita se o preço fosse constante
, e
aparece porque preço cai com quantidade.
Passo 4
Encontremos a receita marginal
como derivada de
em relação a
.
Explicação: derivada de
é
; derivada de
é
(pois
).
Passo 5
Calculemos o custo marginal
com o custo inicial
.
Explicação: o custo fixo
some na derivada e a parte variável
dá
. Isso significa que cada unidade adicional custa
a mais.
Passo 6
A condição de máximo de lucro é
. Igualamos:
Resolva para
:
Portanto, com os dados originais a produção ótima por semana é
unidades.
Passo 7
Achemos o preço de venda fazendo
com
:
Portanto o preço ótimo por unidade é
.
Passo 8
Calculemos o lucro total
com
.
Primeiro
O custo total
Logo
Primeiro
O custo total
Logo
Interpretação: lucro semanal de
(na mesma unidade monetária das equações).
Passo 9
Agora parte (b): custo variável aumenta para
. Então o novo custo total é
Passo 10
Calculemos o novo custo marginal
:
Explicação: cada unidade adicional agora custa
a mais, em vez de
.
Passo 11
Mantendo a mesma curva de demanda (logo a mesma
encontrada antes), igualamos
:
Resolva para
:
Portanto a nova produção ótima por semana é
unidades — houve redução na produção.
Passo 12
Encontre o novo preço usando a demanda:
Curioso: o preço sobe para
porque a oferta monopolista reduzida permite preço maior.
Passo 13
Calculemos o novo lucro
.
Primeiro
O novo custo total
Logo
Primeiro
O novo custo total
Logo
O lucro semanal caiu de
para
.
Passo 14
Resumo interpretativo (breve e motivador):
- A regra
é o passo-chave para monopólio; quando o custo marginal aumenta, a quantidade ótima cai e o monopolista aumenta o preço. - Aqui, o aumento de custo variável de
para fez cair de para , subir de para e cair de para . - Ou seja: sim, houve mudança em produção, preço e lucro — a produção e lucro diminuíram, o preço aumentou.
Resposta
a)
b) Sim:
b) Sim: