Uma empresa monopolista defronta-se com a seguinte curva de demanda inversa:
\mathrm{P}=120-0,02 \mathrm{Q}
onde Q é a demanda pelo produto e P é o preço. A função de custo total da empresa é expressa pela equação: \mathrm{CT}=15.000+60 \mathrm{Q}. Considerando que todas as equações foram estimadas por meio de modelos econométricos de regressão com o uso de dados semanais, pede-se:
a) Quais serão, em cada semana, o nível de produção, o preço e o lucro total da empresa?
b) Se o custo variável aumentar para 80 Q , haverá mudanças na produção, preço e lucro da empresa monopolista? Demonstre.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Dados fornecidos:
\text{Demanda inversa: } P = 120 - 0{,}02\,Q
\text{Custo total inicial: } CT = 15.000 + 60\,Q
Todas as equações referem-se a semanas (ou seja, resultados são por semana).
Perguntas:
a) Para cada semana, qual será o nível de produção Q, o preço P e o lucro total \Pi da empresa monopolista com o custo dado acima?
b) Se o custo variável passar a ser 80\,Q (ou seja, CT = 15.000 + 80\,Q), haverá mudança em Q, P e \Pi? Calcule e demonstre.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Receita total ( TR) é o preço vezes a quantidade vendida: \;TR = P\cdot Q. Aqui P é o preço por unidade e Q a quantidade vendida por semana.
  • Para maximizar lucro, um monopolista escolhe Q tal que a receita marginal ( MR) seja igual ao custo marginal ( MC). Isso vem do princípio: lucro \Pi = TR - CT; derivando em relação a Q e igualando a zero dá MR - MC = 0, logo MR = MC.
  • Receita marginal ( MR) é a derivada de TR em relação a Q: \;MR = \dfrac{d(TR)}{dQ}.
  • Custo marginal ( MC) é a derivada de CT em relação a Q: \;MC = \dfrac{d(CT)}{dQ}.
    Vou aplicar essas fórmulas passo a passo. Se alguma etapa de derivada parecer nova, explico: derivar é calcular a taxa de variação instantânea — por polinômio simples basta aplicar regras básicas (por exemplo, derivada de aQ é a; derivada de bQ^2 é 2bQ).

Passo 3

Calculemos a receita total TR usando a demanda inversa fornecida.
TR = P\cdot Q = (120 - 0{,}02\,Q)\,Q = 120\,Q - 0{,}02\,Q^2.
Aqui cada termo é explicado: 120\,Q é a receita se o preço fosse constante 120, e -0{,}02\,Q^2 aparece porque preço cai com quantidade.

Passo 4

Encontremos a receita marginal MR como derivada de TR em relação a Q.
MR = \frac{d(TR)}{dQ} = \frac{d}{dQ}\big(120\,Q - 0{,}02\,Q^2\big) = 120 - 0{,}04\,Q.
Explicação: derivada de 120\,Q é 120; derivada de -0{,}02\,Q^2 é -0{,}04\,Q (pois 2\cdot0{,}02=0{,}04).

Passo 5

Calculemos o custo marginal MC com o custo inicial \,CT = 15.000 + 60\,Q.
MC = \frac{d(CT)}{dQ} = \frac{d}{dQ}\big(15.000 + 60\,Q\big) = 60.
Explicação: o custo fixo 15.000 some na derivada e a parte variável 60\,Q 60. Isso significa que cada unidade adicional custa 60 a mais.

Passo 6

A condição de máximo de lucro é MR = MC. Igualamos:
120 - 0{,}04\,Q = 60.
Resolva para Q:
0{,}04\,Q = 120 - 60 = 60 \quad\Rightarrow\quad Q = \frac{60}{0{,}04} = 1.500.
Portanto, com os dados originais a produção ótima por semana é \;Q = 1.500 unidades.

Passo 7

Achemos o preço de venda fazendo P = 120 - 0{,}02\,Q com Q = 1.500:
P = 120 - 0{,}02\cdot 1.500 = 120 - 30 = 90.
Portanto o preço ótimo por unidade é \;P = 90.

Passo 8

Calculemos o lucro total \Pi = TR - CT com Q=1.500.
Primeiro TR = P\cdot Q = 90\cdot 1.500 = 135.000.
O custo total CT = 15.000 + 60\cdot 1.500 = 15.000 + 90.000 = 105.000.
Logo
\Pi = 135.000 - 105.000 = 30.000.
Interpretação: lucro semanal de \;30.000 (na mesma unidade monetária das equações).

Passo 9

Agora parte (b): custo variável aumenta para 80\,Q. Então o novo custo total é
CT' = 15.000 + 80\,Q.

Passo 10

Calculemos o novo custo marginal MC':
MC' = \frac{d(CT')}{dQ} = 80.
Explicação: cada unidade adicional agora custa 80 a mais, em vez de 60.

Passo 11

Mantendo a mesma curva de demanda (logo a mesma MR encontrada antes), igualamos MR = MC':
120 - 0{,}04\,Q = 80.
Resolva para Q:
0{,}04\,Q = 120 - 80 = 40 \quad\Rightarrow\quad Q = \frac{40}{0{,}04} = 1.000.
Portanto a nova produção ótima por semana é \;Q = 1.000 unidades — houve redução na produção.

Passo 12

Encontre o novo preço usando a demanda:
P' = 120 - 0{,}02\cdot 1.000 = 120 - 20 = 100.
Curioso: o preço sobe para \;P = 100 porque a oferta monopolista reduzida permite preço maior.

Passo 13

Calculemos o novo lucro \Pi' = TR' - CT'.
Primeiro TR' = P'\cdot Q = 100\cdot 1.000 = 100.000.
O novo custo total CT' = 15.000 + 80\cdot 1.000 = 15.000 + 80.000 = 95.000.
Logo
\Pi' = 100.000 - 95.000 = 5.000.
O lucro semanal caiu de 30.000 para 5.000.

Passo 14

Resumo interpretativo (breve e motivador):
  • A regra MR=MC é o passo-chave para monopólio; quando o custo marginal aumenta, a quantidade ótima cai e o monopolista aumenta o preço.
  • Aqui, o aumento de custo variável de 60 para 80 fez Q cair de 1.500 para 1.000, P subir de 90 para 100 e \Pi cair de 30.000 para 5.000.
  • Ou seja: sim, houve mudança em produção, preço e lucro — a produção e lucro diminuíram, o preço aumentou.

Resposta

a) Q = 1.500,\; P = 90,\; \Pi = 30.000.
b) Sim: Q = 1.000,\; P = 100,\; \Pi = 5.000.

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