Suponhamos que a BMW possa produzir qualquer quantidade de automóveis com um custo marginal constante igual a
20.000
$10$ bilhões. Você é convidado a assessorar o CEO da empresa quanto aos preços e às quantidades que deverão ser praticados na Europa e nos Estados Unidos, mercados no qual a empresa possui alto poder de precificação. A demanda dos automóveis BMW em cada um dos mercados é, respectivamente, expressa por:
e
onde E representa Europa e U, os Estados Unidos. Todos os preços e custos são expressos em milhares de dólares.
a. Que quantidade de automóveis deve ser vendida pela empresa em cada um dos mercados e qual deve ser o preço em cada mercado? Qual será o lucro total?
b. Se a BMW fosse obrigada a cobrar o mesmo preço em cada mercado, qual seria a quantidade vendida em cada um deles, o preço de equilíbrio e o lucro da empresa?
onde E representa Europa e U, os Estados Unidos. Todos os preços e custos são expressos em milhares de dólares.
a. Que quantidade de automóveis deve ser vendida pela empresa em cada um dos mercados e qual deve ser o preço em cada mercado? Qual será o lucro total?
b. Se a BMW fosse obrigada a cobrar o mesmo preço em cada mercado, qual seria a quantidade vendida em cada um deles, o preço de equilíbrio e o lucro da empresa?
Passo 1
O enunciado pede duas análises (a) quando a BMW pode cobrar preços diferentes em Europa e EUA, e (b) quando é obrigada a cobrar o mesmo preço em ambos os mercados. Dados fornecidos (todos os preços e custos estão em milhares de dólares):
Perguntas explícitas:
- (a) Se a empresa pode cobrar preços diferentes, qual a quantidade vendida e o preço em cada mercado e qual o lucro total?
- (b) Se a empresa é obrigada a cobrar o mesmo preço em ambos os mercados, qual será a quantidade vendida em cada um, qual o preço de equilíbrio e qual o lucro?]
Passo 2
Entendimento do procedimento (breve, sem resolver ainda): quando a empresa pode precificar separadamente em mercados independentes (cada mercado fechado à arbitragem), ela maximiza o lucro em cada mercado separadamente igualando a Receita Marginal (MR) daquele mercado ao Custo Marginal
. Vou aplicar isso a cada demanda. Explico a técnica antes de calcular:
- Para uma demanda linear escrita como
, a inversa é . - A Receita Total é
. - A Receita Marginal é a derivada
. - A condição de maximização (com
constante) é . Isso dá . Em seguida, usamos a demanda inversa para obter .
Vou agora aplicar isso passo a passo primeiro ao mercado europeu.
Passo 3
Mercado Europa — cálculo de
e
.
Escrevemos a demanda como
. Inversa:
Receita total:
Receita marginal (derivada de
em relação a
):
Igualamos
ao
:
Multiplicando por
:
Logo
portanto
Agora obtemos o preço pela inversa:
Passo 4
Comentário didático sobre o que fizemos no mercado Europa: igualamos MR a MC porque, marginalmente, a empresa só deve aumentar produção se a receita adicional cobrir o custo marginal. Para demanda linear, MR tem a mesma ordenada inicial
que a demanda inversa, mas slope duas vezes maior; essa é a razão das contas acima.
Passo 5
Mercado Estados Unidos — cálculo de
e
.
Demanda:
. Inversa:
Receita total:
Receita marginal:
Igualando
:
Multiplicando por
:
Assim
que dá
Preço pela inversa:
Passo 6
Cálculo do lucro total no caso de preços distintos (soma das contribuições de cada mercado menos o custo fixo).
Fórmula prática (com MC constante): lucro operacional total antes do custo fixo é
Substituindo números:
Soma das contribuições operacionais:
Subtraindo o custo fixo (
):
Este valor está em milhares de dólares (mesma unidade dos preços/custos).
Passo 7
Resumo didático do resultado da parte (a): quando os mercados são precificados separadamente, a regra prática é: em cada mercado iguale
e depois calcule
pela demanda inversa. Isso maximiza o lucro mercado a mercado porque vendas em um mercado não afetam a curva de demanda do outro (assumindo ausência de arbitragem).
Passo 8
Parte (b): se a BMW for obrigada a cobrar o mesmo preço
em ambos os mercados, precisamos maximizar o lucro total como função de um único
, obedecendo à restrição de que quantidades não podem ser negativas. Primeiro somamos as demandas como função de
:
A abordagem usual é: calcular MR da demanda agregada e igualar a
, mas depois checar se isso gera quantidades não-negativas em ambos os mercados. Faço isso agora.
Passo 9
Receita total agregada (ambos os mercados ativos) e MR agregada.
Com
a inversa é
Receita total:
Receita marginal:
Igualando
:
Multiplicando por
:
portanto
e
O preço correspondente (pela inversa) é
Passo 10
Verificação da viabilidade com relação à demanda de cada mercado: com
(em milhares), as quantidades individuais seriam
Como
fica negativo, a solução interior obtida igualando MR agregado a MC não é válida (não podemos ter vendas negativas). Isso indica que o unconstrained MR solution leva à exclusão do mercado dos EUA. Portanto a solução ótima com preço único é um caso de fronteira: ou escolhemos o melhor preço com ambos os mercados ativos mas com
(isto é, exigir
), ou escolhemos um preço que ativa somente a Europa (e
). Devemos comparar qual dá maior lucro.
Passo 11
Análise do caso com ambos os mercados ativos forçando
(portanto
). Dentro do intervalo
a derivada do lucro agregada em função de
é positiva (pois o MR ótimo não está nesse intervalo), logo o lucro nessa classe é crescente com
e atinge máximo no extremo superior
. Calculamos lucro em
:
Quantidades:
Total
.
Lucro operacional:
Lucro operacional:
Lucro total (subtraindo FC):
Passo 12
Análise do caso em que apenas a Europa compra (preço acima de
faz
). Neste caso a função de lucro é exatamente a mesma que maximizamos para a Europa isoladamente; o preço que maximiza a contribuição europeia é
(calculado no Passo 3). Se a empresa fixa
igual para ambos os mercados, o mercado dos EUA não compra (
) e o resultado é:
O lucro total então é a contribuição europeia menos FC:
Passo 13
Comparação das opções com preço único:
- Lucro quando forçamos ambos ativos e escolhemos o melhor
dentro dessa classe (melhor é ): (muito menor). - Lucro quando escolhemos o melhor preço mesmo que exclua EUA (caso fronteira,
): , muito maior.
Portanto o máximo global sob a restrição de preço único é obter o preço que maximiza lucro (aqui o mesmo que o preço ótimo da Europa) mesmo que isso gere
. Logo a solução ótima com preço uniforme é o caso com
,
,
.
Resposta
(a)
Lucro total
(em milhares de dólares).
(b) Preço único ótimo
Quantidades:
Lucro
(em milhares de dólares).