Suponhamos que a BMW possa produzir qualquer quantidade de automóveis com um custo marginal constante igual a \ 20.000 e um custo fixo de$10$ bilhões. Você é convidado a assessorar o CEO da empresa quanto aos preços e às quantidades que deverão ser praticados na Europa e nos Estados Unidos, mercados no qual a empresa possui alto poder de precificação. A demanda dos automóveis BMW em cada um dos mercados é, respectivamente, expressa por:
\mathrm{Q}_{\mathrm{E}}=4.000 .000-10 \mathrm{P}_{\mathrm{E}} e \mathrm{Q}_{\mathrm{U}}=1.000 .000-20 \mathrm{P}_{\mathrm{U}}
onde E representa Europa e U, os Estados Unidos. Todos os preços e custos são expressos em milhares de dólares.
a. Que quantidade de automóveis deve ser vendida pela empresa em cada um dos mercados e qual deve ser o preço em cada mercado? Qual será o lucro total?
b. Se a BMW fosse obrigada a cobrar o mesmo preço em cada mercado, qual seria a quantidade vendida em cada um deles, o preço de equilíbrio e o lucro da empresa?

Passo 1

O enunciado pede duas análises (a) quando a BMW pode cobrar preços diferentes em Europa e EUA, e (b) quando é obrigada a cobrar o mesmo preço em ambos os mercados. Dados fornecidos (todos os preços e custos estão em milhares de dólares):
\begin{aligned} Q_E &= 4{,}000{,}000 - 10P_E,\\[4pt] Q_U &= 1{,}000{,}000 - 20P_U,\\[4pt] MC &= 20,\\[4pt] \text{Custo fixo }FC &= 10{,}000{,}000. \end{aligned}
Perguntas explícitas:
  • (a) Se a empresa pode cobrar preços diferentes, qual a quantidade vendida e o preço em cada mercado e qual o lucro total?
  • (b) Se a empresa é obrigada a cobrar o mesmo preço em ambos os mercados, qual será a quantidade vendida em cada um, qual o preço de equilíbrio e qual o lucro?]

Passo 2

Entendimento do procedimento (breve, sem resolver ainda): quando a empresa pode precificar separadamente em mercados independentes (cada mercado fechado à arbitragem), ela maximiza o lucro em cada mercado separadamente igualando a Receita Marginal (MR) daquele mercado ao Custo Marginal MC. Vou aplicar isso a cada demanda. Explico a técnica antes de calcular:
  • Para uma demanda linear escrita como Q = a - bP, a inversa é P = \dfrac{a - Q}{b}.
  • A Receita Total é TR(Q)=P(Q)\cdot Q=\dfrac{aQ-Q^2}{b}.
  • A Receita Marginal é a derivada \mathrm{MR}(Q)=\dfrac{dTR}{dQ}=\dfrac{a-2Q}{b}.
  • A condição de maximização (com MC constante) é \mathrm{MR}(Q)=MC. Isso dá Q^*. Em seguida, usamos a demanda inversa para obter P^*.
    Vou agora aplicar isso passo a passo primeiro ao mercado europeu.

Passo 3

Mercado Europa — cálculo de Q_E^* e P_E^*.
Escrevemos a demanda como Q_E = 4{,}000{,}000 - 10P_E. Inversa:
P_E=\frac{4{,}000{,}000-Q_E}{10}.
Receita total:
TR_E(Q_E)=P_E\cdot Q_E=\frac{4{,}000{,}000Q_E-Q_E^2}{10}.
Receita marginal (derivada de TR_E em relação a Q_E):
\mathrm{MR}_E(Q_E)=\frac{4{,}000{,}000-2Q_E}{10}.
Igualamos \mathrm{MR}_E ao MC=20:
\frac{4{,}000{,}000-2Q_E}{10}=20.
Multiplicando por 10:
4{,}000{,}000-2Q_E=200.
Logo
2Q_E=4{,}000{,}000-200=3{,}999{,}800,
portanto
Q_E^*=1{,}999{,}900.
Agora obtemos o preço pela inversa:
P_E^*=\frac{4{,}000{,}000-Q_E^*}{10}=\frac{4{,}000{,}000-1{,}999{,}900}{10}=\frac{2{,}000{,}100}{10}=200{,}010.

Passo 4

Comentário didático sobre o que fizemos no mercado Europa: igualamos MR a MC porque, marginalmente, a empresa só deve aumentar produção se a receita adicional cobrir o custo marginal. Para demanda linear, MR tem a mesma ordenada inicial a/b que a demanda inversa, mas slope duas vezes maior; essa é a razão das contas acima.

Passo 5

Mercado Estados Unidos — cálculo de Q_U^* e P_U^*.
Demanda: Q_U=1{,}000{,}000-20P_U. Inversa:
P_U=\frac{1{,}000{,}000-Q_U}{20}.
Receita total:
TR_U(Q_U)=\frac{1{,}000{,}000Q_U-Q_U^2}{20}.
Receita marginal:
\mathrm{MR}_U(Q_U)=\frac{1{,}000{,}000-2Q_U}{20}.
Igualando \mathrm{MR}_U=MC=20:
\frac{1{,}000{,}000-2Q_U}{20}=20.
Multiplicando por 20:
1{,}000{,}000-2Q_U=400.
Assim
2Q_U=1{,}000{,}000-400=999{,}600,
que dá
Q_U^*=499{,}800.
Preço pela inversa:
P_U^*=\frac{1{,}000{,}000-Q_U^*}{20}=\frac{1{,}000{,}000-499{,}800}{20}=\frac{500{,}200}{20}=25{,}010.

Passo 6

Cálculo do lucro total no caso de preços distintos (soma das contribuições de cada mercado menos o custo fixo).
Fórmula prática (com MC constante): lucro operacional total antes do custo fixo é
\Pi_{\text{op}}=(P_E-MC)Q_E+(P_U-MC)Q_U.
Substituindo números:
(P_E^*-MC)Q_E^*=(200{,}010-20)\cdot 1{,}999{,}900=199{,}990\cdot 1{,}999{,}900=399{,}960{,}001{,}000.
(P_U^*-MC)Q_U^*=(25{,}010-20)\cdot 499{,}800=24{,}990\cdot 499{,}800=12{,}490{,}002{,}000.
Soma das contribuições operacionais:
\Pi_{\text{op}}=399{,}960{,}001{,}000+12{,}490{,}002{,}000=412{,}450{,}003{,}000.
Subtraindo o custo fixo ( FC=10{,}000{,}000):
\Pi_{\text{total}}=412{,}450{,}003{,}000-10{,}000{,}000=412{,}440{,}003{,}000.
Este valor está em milhares de dólares (mesma unidade dos preços/custos).

Passo 7

Resumo didático do resultado da parte (a): quando os mercados são precificados separadamente, a regra prática é: em cada mercado iguale \mathrm{MR}=MC e depois calcule P pela demanda inversa. Isso maximiza o lucro mercado a mercado porque vendas em um mercado não afetam a curva de demanda do outro (assumindo ausência de arbitragem).

Passo 8

Parte (b): se a BMW for obrigada a cobrar o mesmo preço P em ambos os mercados, precisamos maximizar o lucro total como função de um único P, obedecendo à restrição de que quantidades não podem ser negativas. Primeiro somamos as demandas como função de P:
Q_{\text{tot}}(P)=Q_E(P)+Q_U(P)=(4{,}000{,}000-10P)+(1{,}000{,}000-20P)=5{,}000{,}000-30P.
A abordagem usual é: calcular MR da demanda agregada e igualar a MC, mas depois checar se isso gera quantidades não-negativas em ambos os mercados. Faço isso agora.

Passo 9

Receita total agregada (ambos os mercados ativos) e MR agregada.
Com Q_{\text{tot}}=5{,}000{,}000-30P a inversa é
P=\frac{5{,}000{,}000-Q_{\text{tot}}}{30}.
Receita total:
TR(Q_{\text{tot}})=\frac{5{,}000{,}000Q_{\text{tot}}-Q_{\text{tot}}^2}{30}.
Receita marginal:
\mathrm{MR}_{\text{tot}}(Q_{\text{tot}})=\frac{5{,}000{,}000-2Q_{\text{tot}}}{30}.
Igualando \mathrm{MR}_{\text{tot}}=MC=20:
\frac{5{,}000{,}000-2Q_{\text{tot}}}{30}=20.
Multiplicando por 30:
5{,}000{,}000-2Q_{\text{tot}}=600,
portanto
2Q_{\text{tot}}=5{,}000{,}000-600=4{,}999{,}400,
e
Q_{\text{tot}}^*=2{,}499{,}700.
O preço correspondente (pela inversa) é
P^*=\frac{5{,}000{,}000-Q_{\text{tot}}^*}{30}=\frac{5{,}000{,}000-2{,}499{,}700}{30}=\frac{2{,}500{,}300}{30}=83{,}343\overline{,}3.

Passo 10

Verificação da viabilidade com relação à demanda de cada mercado: com P^*\approx 83{,}343{,}3 (em milhares), as quantidades individuais seriam
Q_E=4{,}000{,}000-10P^*\approx 4{,}000{,}000-10\cdot 83{,}343{,}3=3{,}166{,}566{,}7,
Q_U=1{,}000{,}000-20P^*\approx 1{,}000{,}000-20\cdot 83{,}343{,}3=-666{,}866{,}7.
Como Q_U fica negativo, a solução interior obtida igualando MR agregado a MC não é válida (não podemos ter vendas negativas). Isso indica que o unconstrained MR solution leva à exclusão do mercado dos EUA. Portanto a solução ótima com preço único é um caso de fronteira: ou escolhemos o melhor preço com ambos os mercados ativos mas com Q_U\ge0 (isto é, exigir P\le 50), ou escolhemos um preço que ativa somente a Europa (e Q_U=0). Devemos comparar qual dá maior lucro.

Passo 11

Análise do caso com ambos os mercados ativos forçando Q_U\ge0 (portanto P\le 50). Dentro do intervalo 0\le P\le 50 a derivada do lucro agregada em função de P é positiva (pois o MR ótimo não está nesse intervalo), logo o lucro nessa classe é crescente com P e atinge máximo no extremo superior P=50. Calculamos lucro em P=50:
Quantidades:
Q_E(50)=4{,}000{,}000-10\cdot 50=3{,}999{,}500,
Q_U(50)=1{,}000{,}000-20\cdot 50=999{,}000.
Total Q_{\text{tot}}=4{,}998{,}500.
Lucro operacional:
(P-MC)\cdot Q_{\text{tot}}=(50-20)\cdot 4{,}998{,}500=30\cdot 4{,}998{,}500=149{,}955{,}000.
Lucro total (subtraindo FC):
\Pi=149{,}955{,}000-10{,}000{,}000=139{,}955{,}000.

Passo 12

Análise do caso em que apenas a Europa compra (preço acima de 50 faz Q_U=0). Neste caso a função de lucro é exatamente a mesma que maximizamos para a Europa isoladamente; o preço que maximiza a contribuição europeia é P_E^*=200{,}010 (calculado no Passo 3). Se a empresa fixa P=200{,}010 igual para ambos os mercados, o mercado dos EUA não compra ( Q_U=0) e o resultado é:
Q_E=1{,}999{,}900,\quad Q_U=0.
O lucro total então é a contribuição europeia menos FC:
\Pi=(200{,}010-20)\cdot 1{,}999{,}900 - 10{,}000{,}000=399{,}960{,}001{,}000-10{,}000{,}000=399{,}950{,}001{,}000.

Passo 13

Comparação das opções com preço único:
  • Lucro quando forçamos ambos ativos e escolhemos o melhor P dentro dessa classe (melhor é P=50): \Pi=139{,}955{,}000 (muito menor).
  • Lucro quando escolhemos o melhor preço mesmo que exclua EUA (caso fronteira, P=200{,}010): \Pi=399{,}950{,}001{,}000, muito maior.
Portanto o máximo global sob a restrição de preço único é obter o preço que maximiza lucro (aqui o mesmo que o preço ótimo da Europa) mesmo que isso gere Q_U=0. Logo a solução ótima com preço uniforme é o caso com P=200{,}010, Q_E=1{,}999{,}900, Q_U=0.

Resposta

(a) Q_E=1{,}999{,}900,\; P_E=200{,}010;\quad Q_U=499{,}800,\; P_U=25{,}010. Lucro total =412{,}440{,}003{,}000 (em milhares de dólares).
(b) Preço único ótimo P=200{,}010. Quantidades: Q_E=1{,}999{,}900,\; Q_U=0. Lucro =399{,}950{,}001{,}000 (em milhares de dólares).

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