Numa empresa multinacional, sabe-se que 60% dos funcionários falam inglês, 45% falam espanhol e 30% deles não falam nenhuma das duas línguas. Se exatamente 49 funcionários falam inglês e espanhol, podemos concluir que o número de funcionários dessa empresa é igual a:
\bigcirc a) 180
\bigcirc b) 140
\bigcirc c) 210
\bigcirc d) 165
\bigcirc e) 127

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \,60\% dos funcionários falam inglês.
  • \,45\% dos funcionários falam espanhol.
  • \,30\% dos funcionários não falam nenhuma das duas línguas.
  • Exatamente 49 funcionários falam inglês e espanhol (ou seja, falam as duas línguas).
    O que se pede: determinar o número total de funcionários da empresa, escolhendo entre as alternativas:
    \text{a) }180,\\ \text{b) }140,\\ \text{c) }210,\\ \text{d) }165,\\ \text{e) }127.

Passo 2

Defino uma variável para deixar tudo mais claro:
N = \text{o número total de funcionários.}úá
Agora converto as porcentagens em frações do total N:
\text{número que falam inglês} = 60\%\text{ de }N = 0,6N,úê
\text{número que falam espanhol} = 45\%\text{ de }N = 0,45N,ú
\text{número que não falam nenhuma língua} = 30\%\text{ de }N = 0,3N.úãí
E foi dado que
\text{número que falam as duas línguas} = 49.úí

Passo 3

Explico um conceito importante que vamos usar: união e inclusão-exclusão.
  • Se E é o conjunto dos que falam inglês e S é o conjunto dos que falam espanhol, então o número de pessoas que falam pelo menos uma das línguas é o tamanho da união E\cup S.
  • A fórmula da inclusão-exclusão para dois conjuntos é:
|E\cup S| = |E| + |S| - |E\cap S|.
Aqui |E| é o número que falam inglês, |S| o que falam espanhol, e |E\cap S| o que falam ambas.

Passo 4

Usando a informação de que 30\% não falam nenhuma, concluímos que a fração que fala ao menos uma das línguas é 100\%-30\%=70\%. Portanto
|E\cup S| = 70\%\text{ de }N = 0,7N.
Isso é o número de funcionários que falam inglês ou espanhol (ou ambos).

Passo 5

Agora aplico a fórmula de inclusão-exclusão com os valores que temos:
|E\cup S| = |E| + |S| - |E\cap S|.
Substituindo os valores em função de N e o dado de 49 para a interseção:
0,7N = 0,6N + 0,45N - 49.

Passo 6

Faço as contas algébricas passo a passo para isolar N. Primeiro somo 0,6N e 0,45N:
0,6N + 0,45N = 1,05N.
Então a equação fica
0,7N = 1,05N - 49.

Passo 7

Continuo manipulando para obter N. Subtraio 0,7N dos dois lados:
0 = 1,05N - 0,7N - 49.
0 = 0,35N - 49.
Isolando N:
0,35N = 49.
N = \frac{49}{0,35}.

Passo 8

Faço a divisão sem calculadora mostrando os passos: \,0,35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}. Então
N = 49 \div 0,35 = 49 \cdot \frac{1}{0,35} = 49 \cdot \frac{20}{7}.
Corto 49 por 7:
49 \cdot \frac{20}{7} = 7 \cdot 20 = 140.

Passo 9

Verificação rápida (confirmação do resultado): com N=140,
0,6N = 0,6\cdot140 = 84 \quad(\text{inglês}),ê
0,45N = 0,45\cdot140 = 63 \quad(\text{espanhol}),
\text{interseção} = 49.çã
Aplicando inclusão-exclusão: 84+63-49 = 98, que é 0,7\cdot140 = 98. E 30\% de 140 é 42 (não falam nenhuma). Tudo bate.

Resposta

b) 140

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