Numa empresa multinacional, sabe-se que 60% dos funcionários falam inglês, 45% falam espanhol e 30% deles não falam nenhuma das duas línguas. Se exatamente 49 funcionários falam inglês e espanhol, podemos concluir que o número de funcionários dessa empresa é igual a:
a) 180
b) 140
c) 210
d) 165
e) 127
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
dos funcionários falam inglês. -
dos funcionários falam espanhol. -
dos funcionários não falam nenhuma das duas línguas. - Exatamente
funcionários falam inglês e espanhol (ou seja, falam as duas línguas).
O que se pede: determinar o número total de funcionários da empresa, escolhendo entre as alternativas:
Passo 2
Defino uma variável para deixar tudo mais claro:
Agora converto as porcentagens em frações do total
:
E foi dado que
Passo 3
Explico um conceito importante que vamos usar: união e inclusão-exclusão.
- Se
é o conjunto dos que falam inglês e é o conjunto dos que falam espanhol, então o número de pessoas que falam pelo menos uma das línguas é o tamanho da união . - A fórmula da inclusão-exclusão para dois conjuntos é:
Aqui
é o número que falam inglês,
o que falam espanhol, e
o que falam ambas.
Passo 4
Usando a informação de que
não falam nenhuma, concluímos que a fração que fala ao menos uma das línguas é
. Portanto
Isso é o número de funcionários que falam inglês ou espanhol (ou ambos).
Passo 5
Agora aplico a fórmula de inclusão-exclusão com os valores que temos:
Substituindo os valores em função de
e o dado de
para a interseção:
Passo 6
Faço as contas algébricas passo a passo para isolar
. Primeiro somo
e
:
Então a equação fica
Passo 7
Continuo manipulando para obter
. Subtraio
dos dois lados:
Isolando
:
Passo 8
Faço a divisão sem calculadora mostrando os passos:
. Então
Corto
por
:
Passo 9
Verificação rápida (confirmação do resultado): com
,
Aplicando inclusão-exclusão:
, que é
. E
de
é
(não falam nenhuma). Tudo bate.
Resposta
b) 140