Considere um mercado em que o preço de determinado produto é constante e igual
a R$ 24,00 . Se o custo total de produção de x centenas de unidades por mês é
dado por C(x)=x^{3}-3 x^{2}+15 x, a produção mensal que resulta em lucro máximo é:
\bigcirc a) 300 unidades
\bigcirc b) 500 unidades
\bigcirc c) 100 unidades
\bigcirc d) 34 unidades
\bigcirc e) 340 unidades

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações:
  • O preço do produto é constante e igual a R\$24,00.
  • O custo total de produção de x centenas de unidades por mês é
C(x)=x^{3}-3x^{2}+15x.
  • A variável x representa centenas de unidades (ou seja, x=1 significa 100 unidades).
    Pergunta: qual é a produção mensal (em unidades) que resulta em lucro máximo? As alternativas são:
    a) 300 unidades
    b) 500 unidades
    c) 100 unidades
    d) 34 unidades
    e) 340 unidades

Passo 2

Escolha do modelo matemático (explicação e observação sobre interpretação): precisamos montar a função lucro e maximizar. Para isso usamos que lucro = receita − custo, onde receita = preço × quantidade vendida. Como o enunciado informa que x conta centenas de unidades, é importante que a unidade do preço e a unidade de x sejam compatíveis. Há duas interpretações possíveis: preço por unidade ou preço por centena. Se tomarmos o preço como R\$24 por unidade, a receita seria 24\cdot(100x)=2400x e o cálculo daria um valor de x que não corresponde a nenhuma alternativa proposta. Como o enunciado fornece alternativas em dezenas e centenas (por exemplo 300 unidades) e x está em centenas, a interpretação compatível com as alternativas é que o preço informado \,R\$24,00 refere-se ao preço por cento de unidades (isto é, por cada “centena” vendida). Por isso, adotamos que a receita é 24 vezes x (com x em centenas). Esta escolha é necessária para obter uma resposta entregue nas unidades esperadas pelas alternativas.

Passo 3

Construção da função receita e da função lucro:
  • Receita: como explicado, preço por centena = R\$24, quantidade em centenas = x. Portanto a receita é
R(x)=24x.
Explanação: multiplicamos o preço (o quanto recebemos por cada centena) pela quantidade de centenas produzidas para obter a receita total em reais.
  • Lucro: definimos a função lucro \Pi(x) como receita menos custo:
\Pi(x)=R(x)-C(x)=24x-\bigl(x^{3}-3x^{2}+15x\bigr).
Agora simplificamos a expressão.

Passo 4

Simplificação da função lucro: desenvolvendo os termos,
\Pi(x)=24x - x^{3} + 3x^{2} -15x = -x^{3} + 3x^{2} + 9x.
Explicação das operações: subtraímos cada termo de C(x) da receita; 24x-15x=9x.

Passo 5

Cálculo da derivada primeira (regra da potência) e condição de extremo:
Para buscar máximo/minimo de uma função usamos a derivada primeira \Pi'(x) e procuramos pontos críticos onde \Pi'(x)=0. Aplicando a regra da potência (derivada de x^{n} é n x^{n-1}) termo a termo:
\Pi'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-x^{3}+3x^{2}+9x\bigr) = -3x^{2}+6x+9.
Explicação breve: derivada de -x^{3} é -3x^{2}, de 3x^{2} é 6x, e de 9x é 9.

Passo 6

Resolver \Pi'(x)=0 para encontrar candidatos a extremo:
-3x^{2}+6x+9=0.
Dividimos por -3 para simplificar:
x^{2}-2x-3=0.
Fatorizando:
(x-3)(x+1)=0,
portanto as soluções são x=3 e x=-1. Como x representa quantidade (centenas de unidades) não podemos aceitar x=-1. Logo o candidato relevante é
x=3.

Passo 7

Teste da segunda derivada para verificar que é máximo:
A segunda derivada é
\Pi''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-3x^{2}+6x+9\bigr) = -6x+6.
Avaliaremos em x=3:
\Pi''(3)=-6\cdot 3 +6 = -18+6 = -12.
Como \Pi''(3)<0, pela regra da segunda derivada isso indica que \Pi tem um máximo local (e aqui é o máximo global relevante, pois para produção negativa não faz sentido). Explicação do teste: se \Pi''(x_0)<0 então a concavidade é para baixo e x_0 é ponto de máximo local.

Passo 8

Conversão da resposta para unidades: encontramos x=3 centenas de unidades. Como x conta centenas, a produção máxima é
3\times 100 = 300\\ \text{unidades por mês}.ê

Resposta

a) 300 unidades

Exercícios relacionados