Considere um mercado em que o preço de determinado produto é constante e igual
a R$ 24,00 . Se o custo total de produção de x centenas de unidades por mês é
dado por
, a produção mensal que resulta em lucro máximo é:
a) 300 unidades
b) 500 unidades
c) 100 unidades
d) 34 unidades
e) 340 unidades
a R$ 24,00 . Se o custo total de produção de x centenas de unidades por mês é
dado por
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações:
- O preço do produto é constante e igual a
. - O custo total de produção de
centenas de unidades por mês é
- A variável
representa centenas de unidades (ou seja, significa unidades).
Pergunta: qual é a produção mensal (em unidades) que resulta em lucro máximo? As alternativas são:
a)unidades
b)unidades
c)unidades
d)unidades
e)unidades
Passo 2
Escolha do modelo matemático (explicação e observação sobre interpretação): precisamos montar a função lucro e maximizar. Para isso usamos que lucro = receita − custo, onde receita = preço × quantidade vendida. Como o enunciado informa que
conta centenas de unidades, é importante que a unidade do preço e a unidade de
sejam compatíveis. Há duas interpretações possíveis: preço por unidade ou preço por centena. Se tomarmos o preço como
por unidade, a receita seria
e o cálculo daria um valor de
que não corresponde a nenhuma alternativa proposta. Como o enunciado fornece alternativas em dezenas e centenas (por exemplo
unidades) e
está em centenas, a interpretação compatível com as alternativas é que o preço informado
refere-se ao preço por cento de unidades (isto é, por cada “centena” vendida). Por isso, adotamos que a receita é
vezes
(com
em centenas). Esta escolha é necessária para obter uma resposta entregue nas unidades esperadas pelas alternativas.
Passo 3
Construção da função receita e da função lucro:
- Receita: como explicado, preço por centena =
, quantidade em centenas = . Portanto a receita é
Explanação: multiplicamos o preço (o quanto recebemos por cada centena) pela quantidade de centenas produzidas para obter a receita total em reais.
- Lucro: definimos a função lucro
como receita menos custo:
Agora simplificamos a expressão.
Passo 4
Simplificação da função lucro: desenvolvendo os termos,
Explicação das operações: subtraímos cada termo de
da receita;
.
Passo 5
Cálculo da derivada primeira (regra da potência) e condição de extremo:
Para buscar máximo/minimo de uma função usamos a derivada primeira e procuramos pontos críticos onde
. Aplicando a regra da potência (derivada de
é
) termo a termo:
Para buscar máximo/minimo de uma função usamos a derivada primeira
Explicação breve: derivada de
é
, de
é
, e de
é
.
Passo 6
Resolver
para encontrar candidatos a extremo:
Dividimos por
para simplificar:
Fatorizando:
portanto as soluções são
e
. Como
representa quantidade (centenas de unidades) não podemos aceitar
. Logo o candidato relevante é
Passo 7
Teste da segunda derivada para verificar que é máximo:
A segunda derivada é
A segunda derivada é
Avaliaremos em
:
Como
, pela regra da segunda derivada isso indica que
tem um máximo local (e aqui é o máximo global relevante, pois para produção negativa não faz sentido). Explicação do teste: se
então a concavidade é para baixo e
é ponto de máximo local.
Passo 8
Conversão da resposta para unidades: encontramos
centenas de unidades. Como
conta centenas, a produção máxima é
Resposta
a) 300 unidades