Uma fábrica produz dois tipos de peças, P1 e P2. Essas peças são vendidas a duas
empresas, E1 e E2. O lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P1 é
R 3,00 e de cada peça P2 é Rçé 2,00 . A matriz abaixo fornece a quantidade de
peças P1 e P2 vendidas a cada uma das empresas E1 e E2, no mês de novembro:
P1 | P2
E1 [ 20 8]
E2 [15 12]
Se x e y representam os lucros, em reais, obtidos pela fábrica, no referido mês, com
a venda das peças às empresas E1 e E2, então a matriz [x y] é igual a:

Passo 1

O enunciado pede para achar a matriz [x\\ y], onde x e y representam os lucros (em reais) obtidos pela fábrica, no mês indicado, com as vendas às empresas E1 e E2, respectivamente. As informações relevantes fornecidas são:
\text{lucro por unidade de }P1 = R\$\,3{,}00,\qquad \text{lucro por unidade de }P2 = R\$\,2{,}00.
A tabela (pega do enunciado) com as quantidades vendidas é:
\begin{array}{c|cc} & P1 & P2\\hline E1 & 20 & 8\\\ E2 & 15 & 12 \end{array}
Portanto temos as quantidades para E1 e E2 explícitas e os lucros unitários de P1 e P2. A tarefa é calcular x (lucro total com E1) e y (lucro total com E2) e montar a matriz [x\\ y].

Passo 2

Vamos traduzir isso para uma operação simples: para cada empresa somamos, peça a peça, a quantidade vendida multiplicada pelo lucro unitário. Em linguagem de matrizes/vetores isso é o produto do vetor de preços pelo vetor de quantidades daquela empresa (ou o produto linha por coluna). Para ficar claro, escrevo o vetor de lucros por unidade:
p=\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix},
onde o primeiro componente 3 é o lucro de P1 e o segundo componente 2 é o lucro de P2. A matriz de quantidades (linhas = empresas, colunas = P1,P2) é
Q=\begin{pmatrix}20 & 8\\[4pt]15 & 12\end{pmatrix}.
Um conceito importante (aula rápida): o produto de uma linha de Q pelo vetor p é um produto escalar (dot product) — multiplica-se termo a termo e soma-se. Esse resultado dá o lucro total daquela empresa. Exemplo genérico: se uma empresa vende a de P1 e b de P2, o lucro é
a\cdot 3 + b\cdot 2.
Isso é exatamente o que vamos aplicar para E1 e E2.]

Passo 3

Calcular x, o lucro obtido com E1. Pego a linha de E1 (quantidades 20 e 8) e faço o produto escalar com p:
x = 20\cdot 3 + 8\cdot 2.
Agora faço as multiplicações parciais:
20\cdot 3 = 60,\qquad 8\cdot 2 = 16.
Somando:
x = 60 + 16 = 76.
Interpretação: vender 20 unidades de P1 rendeu R\$\,60 e vender 8 de P2 rendeu R\$\,16; total R\$\,76.

Passo 4

Calcular y, o lucro obtido com E2. Pego a linha de E2 (quantidades 15 e 12) e faço o produto escalar:
y = 15\cdot 3 + 12\cdot 2.
Multiplicações parciais:
15\cdot 3 = 45,\qquad 12\cdot 2 = 24.
Somando:
y = 45 + 24 = 69.
Interpretação: E2 gerou R\$\,45 com P1 e R\$\,24 com P2; total R\$\,69.

Passo 5

Montando a matriz pedida com x e y calculados:
\begin{bmatrix}x & y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}76 & 69\end{bmatrix}.

Resposta

\begin{bmatrix}76 & 69\end{bmatrix}

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