Numa empresa, observou-se, a partir dos registos históricos, que num dia útil qualquer a probabilidade de um funcionário faltar ao trabalho é de 0,12 . Suponha que essa percentagem se mantém estável e que o comportamento de cada funcionário é independente do dos demais.
Para uma segunda-feira determinada, seleciona-se aleatoriamente um grupo de 15 funcionários da empresa.
Seja X a variável aleatória que representa o número de funcionários ausentes nessa segunda-feira.
Determine o valor esperado e o desvio-padrão de X .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações:
  • Probabilidade de um funcionário faltar num dia útil qualquer: p=0,12.
  • Número de funcionários selecionados: n=15.
  • A seleção é aleatória e os comportamentos são independentes.
O que é pedido:
  • O valor esperado de X, em que X é o número de funcionários ausentes nessa segunda-feira.
  • O desvio-padrão de X.

Passo 2

Modelo e ideia geral (sem fazer contas ainda). Cada funcionário pode faltar ou não faltar; isso é uma experiência de Bernoulli com probabilidade de “sucesso” (aqui: faltar) igual a p. Como temos n funcionários independentes, X é a soma de n variáveis de Bernoulli idênticas — isto é, X segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p. Não se preocupe com o nome — a ideia prática é: X conta quantas “faltas” ocorrem em n tentativas independentes.

Passo 3

Definição e propriedades básicas que usaremos. Seja Y_i\) a variável que indica se o \(i\)-ésimo funcionário falta: \[Y_i = \begin{cases} 1 & \text{se o funcionário \(i falta},\ 0 & se o funcionário i não falta. \end{cases}]
Para uma Bernoulli com parâmetro p vale:
\mathbb{E}[Y_i]=p,
\mathrm{Var}(Y_i)=p(1-p).
Explicação rápida do porquê:
  • A esperança \mathbb{E}[Y_i] é a média ponderada: 1\cdot p + 0\cdot(1-p)=p.
  • A variância é \mathbb{E}[Y_i^2] - (\mathbb{E}[Y_i])^2. Como Y_i^2=Y_i para valores 0 ou 1, temos \mathbb{E}[Y_i^2]=p, então \mathrm{Var}(Y_i)=p-p^2=p(1-p).

Passo 4

Relacionando X com os Y_i. Como X conta o número total de faltas entre os n funcionários:
X=\sum_{i=1}^{n} Y_i.
Usamos duas propriedades importantes:
  1. Linearidade da esperança:
\mathbb{E}[X]=\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}[Y_i]=\sum_{i=1}^{n} p = n p.
  1. Se os Y_i são independentes, a variância da soma é a soma das variâncias:
\mathrm{Var}(X)=\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}(Y_i)=\sum_{i=1}^{n} p(1-p)=n p(1-p).
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=\sqrt{n p(1-p)}.

Passo 5

Aplicando os valores numéricos pedidos. Primeiro a esperança:
\mathbb{E}[X]=n p = 15 \times 0,12.
Faça a conta passo a passo: 10\times 0,12=1,2 e 5\times 0,12=0,6, então 1,2+0,6=1,8. Logo
\mathbb{E}[X]=1,8.

Passo 6

Agora a variância e o desvio-padrão. Variância:
\mathrm{Var}(X)=n p(1-p)=15\times 0,12 \times (1-0,12).
Como 1-0,12=0,88 e já calculei 15\times 0,12=1,8, temos
\mathrm{Var}(X)=1,8\times 0,88.
Calcule 1,8\times 0,88 por partes: 1,8\times 0,8=1,44 e 1,8\times 0,08=0,144; somando dá 1,44+0,144=1,584. Assim
\mathrm{Var}(X)=1,584.
Desvio-padrão:
\sigma_X=\sqrt{1,584}.
Para aproximar a raiz: 1,258^2\approx 1,582564 e 1,259^2\approx 1,585081, então \sqrt{1,584} está entre 1,258 e 1,259, mais precisamente cerca de 1,2589. Arredondando a três casas decimais:
\sigma_X \approx 1,259.

Passo 7

Interpretação curta e ânimo: o valor esperado 1,8 significa que, em média, espera-se cerca de duas faltas naquele grupo de 15 funcionários; o desvio-padrão 1,259 dá a escala típica de variação ao redor dessa média — ou seja, oscilações de aproximadamente uma a duas faltas são comuns. Você está indo bem — é só aplicar as fórmulas e fazer as contas com calma.

Resposta

\mathbb{E}[X]=1,8
\sigma_X\approx 1,259

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