Numa empresa, observou-se, a partir dos registos históricos, que num dia útil qualquer a probabilidade de um funcionário faltar ao trabalho é de 0,12 . Suponha que essa percentagem se mantém estável e que o comportamento de cada funcionário é independente do dos demais.
Para uma segunda-feira determinada, seleciona-se aleatoriamente um grupo de 15 funcionários da empresa.
Seja X a variável aleatória que representa o número de funcionários ausentes nessa segunda-feira.
Determine o valor esperado e o desvio-padrão de X .
Seja X a variável aleatória que representa o número de funcionários ausentes nessa segunda-feira.
Determine o valor esperado e o desvio-padrão de X .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações:
- Probabilidade de um funcionário faltar num dia útil qualquer:
. - Número de funcionários selecionados:
. - A seleção é aleatória e os comportamentos são independentes.
O que é pedido:
- O valor esperado de
, em que é o número de funcionários ausentes nessa segunda-feira. - O desvio-padrão de
.
Passo 2
Modelo e ideia geral (sem fazer contas ainda). Cada funcionário pode faltar ou não faltar; isso é uma experiência de Bernoulli com probabilidade de “sucesso” (aqui: faltar) igual a
. Como temos
funcionários independentes,
é a soma de
variáveis de Bernoulli idênticas — isto é,
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. Não se preocupe com o nome — a ideia prática é:
conta quantas “faltas” ocorrem em
tentativas independentes.
Passo 3
Definição e propriedades básicas que usaremos. Seja
falta},\ 0 & se o funcionário
não falta. \end{cases}]
Para uma Bernoulli com parâmetro
vale:
Explicação rápida do porquê:
- A esperança
é a média ponderada: . - A variância é
. Como para valores ou , temos , então .
Passo 4
Relacionando
com os
. Como
conta o número total de faltas entre os
funcionários:
Usamos duas propriedades importantes:
- Linearidade da esperança:
- Se os
são independentes, a variância da soma é a soma das variâncias:
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
Passo 5
Aplicando os valores numéricos pedidos. Primeiro a esperança:
Faça a conta passo a passo:
e
, então
. Logo
Passo 6
Agora a variância e o desvio-padrão. Variância:
Como
e já calculei
, temos
Calcule
por partes:
e
; somando dá
. Assim
Desvio-padrão:
Para aproximar a raiz:
e
, então
está entre
e
, mais precisamente cerca de
. Arredondando a três casas decimais:
Passo 7
Interpretação curta e ânimo: o valor esperado
significa que, em média, espera-se cerca de duas faltas naquele grupo de
funcionários; o desvio-padrão
dá a escala típica de variação ao redor dessa média — ou seja, oscilações de aproximadamente uma a duas faltas são comuns. Você está indo bem — é só aplicar as fórmulas e fazer as contas com calma.