Numa empresa, observou-se, a partir dos registos históricos, que num dia útil qualquer a probabilidade de um funcionário faltar ao trabalho é de 0,12 . Suponha que essa percentagem se mantém estável e que o comportamento de cada funcionário é independente do dos demais.
Para uma segunda-feira determinada, seleciona-se aleatoriamente um grupo de 15 funcionários da empresa.
Seja X a variável aleatória que representa o número de funcionários ausentes nessa segunda-feira.
Qual é a probabilidade de que exatamente 2 dos 15 funcionários estejam ausentes?
Seja X a variável aleatória que representa o número de funcionários ausentes nessa segunda-feira.
Qual é a probabilidade de que exatamente 2 dos 15 funcionários estejam ausentes?
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações nos dá:
- Pede-se a probabilidade de que exatamente 2 dos 15 funcionários selecionados estejam ausentes numa segunda‑feira.
- Informação dada: a probabilidade de um funcionário faltar num dia útil é
. - Foi dito que essa taxa se mantém estável e que o comportamento de cada funcionário é independente dos demais.
- Foi escolhido um grupo de
funcionários.
Nada mais é pedido além de calcular essa probabilidade.
Passo 2
Entendendo o tipo de modelo que devemos usar (explicação didática):
- Quando temos um número fixo de experimentos independentes (aqui:
funcionários), cada experimento tem só dois resultados possíveis (ausente / presente) e a probabilidade de “sucesso” (aqui: “ausente”) é a mesma em cada experimento (aqui: ), a variável que conta quantos sucessos ocorrem segue a distribuição binomial. - Então definimos
como o número de ausentes entre os . Dizemos que
- Isso significa que a probabilidade de exatamente
ausentes é dada por uma fórmula específica (vou mostrar já).
Passo 3
Apresentando a fórmula da distribuição binomial e explicando cada termo:
- A fórmula para a probabilidade de exatamente
sucessos em ensaios é
- O que cada símbolo significa:
-
é o número de maneiras de escolher quais ensaios foram sucessos (combinações). -
é a probabilidade de ocorrerem esses sucessos específicos. -
é a probabilidade de os restantes ensaios serem falhas (não ausentes).
-
- No nosso problema temos
, , . Logo
Passo 4
Calcular a combinação
(explicando como calcular sem usar fatorial completo):
- A fórmula de combinação é
, mas para é mais simples calcular direto:
- Portanto
.
Passo 5
Calcular
(explicando a operação):
-
.
Passo 6
Calcular
passo a passo (mostrando multiplicações para que você repita sem calculadora com cuidado):
- Vamos calcular potências de
iterativamente: -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
-
- Portanto
.
Passo 7
Juntar tudo e calcular a probabilidade numérica (mostrando cada multiplicação):
- Já temos:
-
, -
, -
.
-
- Multiplicando as duas últimas:
- Agora multiplicamos por
:
Passo 8
Interpretação e arredondamento final (como você pode apresentar na prova):
- A probabilidade exata pode ser escrita como expressão:
- Em valor decimal aproximado:
- Em porcentagem isso é aproximadamente
, ou arredondando, cerca de .