Numa empresa, observou-se, a partir dos registos históricos, que num dia útil qualquer a probabilidade de um funcionário faltar ao trabalho é de 0,12 . Suponha que essa percentagem se mantém estável e que o comportamento de cada funcionário é independente do dos demais.
Para uma segunda-feira determinada, seleciona-se aleatoriamente um grupo de 15 funcionários da empresa.
Seja X a variável aleatória que representa o número de funcionários ausentes nessa segunda-feira.
Qual é a probabilidade de que exatamente 2 dos 15 funcionários estejam ausentes?

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações nos dá:
  • Pede-se a probabilidade de que exatamente 2 dos 15 funcionários selecionados estejam ausentes numa segunda‑feira.
  • Informação dada: a probabilidade de um funcionário faltar num dia útil é \,0,12\,.
  • Foi dito que essa taxa se mantém estável e que o comportamento de cada funcionário é independente dos demais.
  • Foi escolhido um grupo de 15 funcionários.
    Nada mais é pedido além de calcular essa probabilidade.

Passo 2

Entendendo o tipo de modelo que devemos usar (explicação didática):
  • Quando temos um número fixo de experimentos independentes (aqui: 15 funcionários), cada experimento tem só dois resultados possíveis (ausente / presente) e a probabilidade de “sucesso” (aqui: “ausente”) é a mesma em cada experimento (aqui: p=0,12), a variável que conta quantos sucessos ocorrem segue a distribuição binomial.
  • Então definimos X como o número de ausentes entre os 15. Dizemos que
X \sim \text{Binomial}(n=15,\;p=0,12).
  • Isso significa que a probabilidade de exatamente k ausentes é dada por uma fórmula específica (vou mostrar já).

Passo 3

Apresentando a fórmula da distribuição binomial e explicando cada termo:
  • A fórmula para a probabilidade de exatamente k sucessos em n ensaios é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
  • O que cada símbolo significa:
    • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k ensaios foram sucessos (combinações).
    • p^{k} é a probabilidade de ocorrerem esses k sucessos específicos.
    • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de os restantes n-k ensaios serem falhas (não ausentes).
  • No nosso problema temos n=15, k=2, p=0,12. Logo
P(X=2)=\binom{15}{2}\,(0,12)^{2}\,(1-0,12)^{13}.

Passo 4

Calcular a combinação \binom{15}{2} (explicando como calcular sem usar fatorial completo):
  • A fórmula de combinação é \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}, mas para \binom{15}{2} é mais simples calcular direto:
\binom{15}{2}=\frac{15\cdot14}{2\cdot1}= \frac{210}{2}=105.
  • Portanto \binom{15}{2}=105.

Passo 5

Calcular (0,12)^{2} (explicando a operação):
  • (0,12)^{2}=0,12\times0,12=0,0144.

Passo 6

Calcular (1-0,12)^{13}=(0,88)^{13} passo a passo (mostrando multiplicações para que você repita sem calculadora com cuidado):
  • Vamos calcular potências de 0,88 iterativamente:
    • (0,88)^{2}=0,7744.
    • (0,88)^{3}=0,7744\times0,88=0,681472.
    • (0,88)^{4}=0,681472\times0,88=0,59969536.
    • (0,88)^{5}=0,59969536\times0,88=0,5277315168.
    • (0,88)^{6}=0,5277315168\times0,88=0,464403734784.
    • (0,88)^{7}=0,464403734784\times0,88=0,40867528660992.
    • (0,88)^{8}=0,40867528660992\times0,88=0,3596342522167296.
    • (0,88)^{9}=0,3596342522167296\times0,88=0,3164781419507221.
    • (0,88)^{10}=0,3164781419507221\times0,88=0,2785007649166355.
    • (0,88)^{11}=0,2785007649166355\times0,88=0,24508067312663924.
    • (0,88)^{12}=0,24508067312663924\times0,88=0,21567099235144254.
    • (0,88)^{13}=0,21567099235144254\times0,88=0,18979047326926943.
  • Portanto (0,88)^{13}\approx 0,18979047326926943.

Passo 7

Juntar tudo e calcular a probabilidade numérica (mostrando cada multiplicação):
  • Já temos:
    • \binom{15}{2}=105,
    • (0,12)^{2}=0,0144,
    • (0,88)^{13}\approx 0,18979047326926943.
  • Multiplicando as duas últimas:
0,0144\times 0,18979047326926943 \approx 0,00273298281507748.
  • Agora multiplicamos por 105:
105\times 0,00273298281507748 \approx 0,2869631955831354.

Passo 8

Interpretação e arredondamento final (como você pode apresentar na prova):
  • A probabilidade exata pode ser escrita como expressão:
P(X=2)=\binom{15}{2}(0,12)^{2}(0,88)^{13}.
  • Em valor decimal aproximado:
P(X=2)\approx 0,28696.
  • Em porcentagem isso é aproximadamente 28,696\%, ou arredondando, cerca de 28,7\%.

Resposta

P(X=2)\approx 0,28696

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