Numa empresa, observou-se, a partir dos registos históricos, que num dia útil qualquer a probabilidade de um funcionário faltar ao trabalho é de 0,12 . Suponha que essa percentagem se mantém estável e que o comportamento de cada funcionário é independente do dos demais.
Para uma segunda-feira determinada, seleciona-se aleatoriamente um grupo de 15 funcionários da empresa.
Seja X a variável aleatória que representa o número de funcionários ausentes nessa segunda-feira.
Qual é a probabilidade de que pelo menos 3 funcionários estejam ausentes?

Passo 1

O enunciado diz que, num dia útil qualquer, a probabilidade de um funcionário faltar é 0,12. Selecionou-se aleatoriamente um grupo de 15 funcionários para uma segunda-feira. Define-se a variável aleatória X como o número de ausentes nesse grupo de 15 funcionários. A pergunta é: qual é a probabilidade de que pelo menos 3 funcionários estejam ausentes nessa segunda-feira?
Informações relevantes tiradas do enunciado:
\;n=15 (número de funcionários no grupo), \;p=0,12 (probabilidade de falta de cada funcionário), independência entre funcionários. O que se pede: P(X\ge 3).

Passo 2

Por que podemos modelar X como uma binomial? Vou explicar devagarinho: a distribuição binomial é apropriada quando temos um número fixo de ensaios ( n), cada ensaio tem apenas dois resultados (sucesso/falha — aqui “ausente” = sucesso no sentido de contagem), a probabilidade do “sucesso” é a mesma em cada ensaio ( p) e os ensaios são independentes. O enunciado garante exatamente isso. Portanto
X \sim \mathrm{Bin}(n=15,p=0,12).
A função de probabilidade da binomial é: para k=0,1,\dots,n,
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{\,n-k}.
Aqui \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher k ausentes entre n), p^{k} é a probabilidade de exatamente k ausências, e (1-p)^{n-k} é a probabilidade dos outros n-k estarem presentes.

Passo 3

Estratégia prática: calcular P(X\ge 3) diretamente somando muitos termos dá trabalho. É mais fácil usar o complementar:
P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)=1-\big(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\big).
Então vamos calcular P(X=0), P(X=1) e P(X=2) e subtrair a soma de 1.

Passo 4

Calcular P(X=0). Pelo fórmula,
P(X=0)=\binom{15}{0}\,0,12^{0}\,0,88^{15} = 1\cdot 1\cdot 0,88^{15} = 0,88^{15}.
Agora precisamos de 0,88^{15}. Podemos obter isso multiplicando sucessivamente por 0,88:
\begin{aligned} 0,88^{2}&=0,7744,\\\\ 0,88^{3}&\approx 0,681472,\\\\ 0,88^{4}&\approx 0,59969536,\\\ &\\ \vdots\\\\ 0,88^{15}&\approx 0,14627\\ (\text{arredondando}). \end{aligned}
Portanto
P(X=0)\approx 0,14627.

Passo 5

Calcular P(X=1). Pela fórmula,
P(X=1)=\binom{15}{1}\,0,12^{1}\,0,88^{14}.
Sabemos \binom{15}{1}=15. Usando 0,88^{14}\approx 0,16642 (isto vem de dividir 0,88^{15} por 0,88 ou multiplicando sucessivamente),
P(X=1)=15\cdot 0,12\cdot 0,88^{14}\approx 15\cdot 0,12\cdot 0,16642.
Calcule passo a passo: 0,12\cdot 0,16642\approx 0,01997. Multiplicando por 15:
P(X=1)\approx 0,29956.

Passo 6

Calcular P(X=2). Pela fórmula,
P(X=2)=\binom{15}{2}\,0,12^{2}\,0,88^{13}.
Temos \binom{15}{2}=105 e 0,12^{2}=0,0144. Usando 0,88^{13}\approx 0,18914 (obtido do passo anterior),
P(X=2)=105\cdot 0,0144\cdot 0,18914.
Calcule passo a passo: 0,0144\cdot 0,18914\approx 0,0027237. Multiplicando por 105:
P(X=2)\approx 0,28599.

Passo 7

Somar os três primeiros casos e aplicar o complementar:
P(X\le 2)\approx 0,14627+0,29956+0,28599=0,73182.
Então
P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)\approx 1-0,73182=0,26818.
Arredondando de forma conveniente (quatro casas decimais) obtemos 0,2682.

Resposta

0,2682

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