Numa empresa, observou-se, a partir dos registos históricos, que num dia útil qualquer a probabilidade de um funcionário faltar ao trabalho é de 0,12 . Suponha que essa percentagem se mantém estável e que o comportamento de cada funcionário é independente do dos demais.
Para uma segunda-feira determinada, seleciona-se aleatoriamente um grupo de 15 funcionários da empresa.
Seja X a variável aleatória que representa o número de funcionários ausentes nessa segunda-feira.
Qual é a probabilidade de que pelo menos 3 funcionários estejam ausentes?
Seja X a variável aleatória que representa o número de funcionários ausentes nessa segunda-feira.
Qual é a probabilidade de que pelo menos 3 funcionários estejam ausentes?
Passo 1
O enunciado diz que, num dia útil qualquer, a probabilidade de um funcionário faltar é
. Selecionou-se aleatoriamente um grupo de
funcionários para uma segunda-feira. Define-se a variável aleatória
como o número de ausentes nesse grupo de
funcionários. A pergunta é: qual é a probabilidade de que pelo menos
funcionários estejam ausentes nessa segunda-feira?
Informações relevantes tiradas do enunciado:
(número de funcionários no grupo),
(probabilidade de falta de cada funcionário), independência entre funcionários. O que se pede:
.
Informações relevantes tiradas do enunciado:
Passo 2
Por que podemos modelar
como uma binomial? Vou explicar devagarinho: a distribuição binomial é apropriada quando temos um número fixo de ensaios (
), cada ensaio tem apenas dois resultados (sucesso/falha — aqui “ausente” = sucesso no sentido de contagem), a probabilidade do “sucesso” é a mesma em cada ensaio (
) e os ensaios são independentes. O enunciado garante exatamente isso. Portanto
A função de probabilidade da binomial é: para
,
Aqui
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher
ausentes entre
),
é a probabilidade de exatamente
ausências, e
é a probabilidade dos outros
estarem presentes.
Passo 3
Estratégia prática: calcular
diretamente somando muitos termos dá trabalho. É mais fácil usar o complementar:
Então vamos calcular
,
e
e subtrair a soma de
.
Passo 4
Calcular
. Pelo fórmula,
Agora precisamos de
. Podemos obter isso multiplicando sucessivamente por
:
Portanto
Passo 5
Calcular
. Pela fórmula,
Sabemos
. Usando
(isto vem de dividir
por
ou multiplicando sucessivamente),
Calcule passo a passo:
. Multiplicando por
:
Passo 6
Calcular
. Pela fórmula,
Temos
e
. Usando
(obtido do passo anterior),
Calcule passo a passo:
. Multiplicando por
:
Passo 7
Somar os três primeiros casos e aplicar o complementar:
Então
Arredondando de forma conveniente (quatro casas decimais) obtemos
.