Uma empresa possui 500 toneladas de grãos em seu armazém e precisa transportá-los a um cliente. O transporte pode ser feito por caminhões ou por trem. Para cada tonelada transportada por trem paga-se R$ 8,00 de custo fixo e R$ 0,015 por quilômetro rodado. O transporte rodoviário exige 25 caminhões. Para cada caminhão utilizado paga-se 8,00 de custo fixo e R de custo fixo, além de R$ 0,50 por quilômetro rodado. Supondo que x seja a distância entre o armazém e o cliente, para que intervalo de x o transporte por trem é mais vantajoso que o transporte por caminhões?

Passo 1

Beleza! Então o enunciado diz que uma empresa tem 500 t de grãos e pode mandar tudo de trem ou de caminhão. No trem você paga um custo fixo de R$ 8,00 por tonelada e mais R$ 0,015 por tonelada por quilômetro. No caminho rodoviário são 25 caminhões, cada um com R$ 125,00 de custo fixo e R$ 0,50 por quilômetro rodado. A gente chama de 8,00 por tonelada e mais R a distância em km e quer saber para que valores de 125,00 de custo fixo e R o trem fica mais barato que os caminhões. O conteúdo é basicamente criação de funções de custo linear e resolução de desigualdade.

Passo 2

Primeiro vamos montar a função de custo do trem ( 8,00/t = R) e a dos caminhões ( 0,015/t·km × (x) km = R).
  • Trem:
    • Custo fixo total = CT(x) = 4000 + 7,5x t × R$ 8,00/t = R$ 125,00 = R.
    • Custo variável = 0,50/km × (x) km = R t × R$ 0,015/t·km × CC(x) = 3125 + 12,5x km = R$ .
      Então
  • Caminhões:
    • Custo fixo total = camiões × R$ 125,00 = R$ .
    • Custo variável = camiões × R$ 0,50/km × km = R$ .
      Então

Passo 3

Agora a gente quer 4000 + 7,5x < 3125 + 12,5x , pois isso diz “trem mais barato que caminhões”:

Passo 4

Resolvendo a desigualdade:
  1. Subtrai 3125 de ambos os lados: 4000 - 3125 + 7,5x < 12,5x Longrightarrow 875 + 7,5x < 12,5x
  2. Subtrai 875 < 12,5x - 7,5x Longrightarrow 875 < 5x de ambos os lados: x > 8755 = 175
  3. Divide por 5:

Resposta

Para distâncias maiores que 175 km ( ), o transporte por trem fica mais vantajoso que por caminhões.

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