(1,0) Numa empresa de processamento de polímeros, onde você é o responsável pelas resinas; a temperatura de processamento para a fabricação de um copo de PS cristal, por injeção, é de 160^{\circ} \mathrm{C} e a viscosidade do PS nesta temperatura é igual a 1,50 \times 10^{3} poises. Mas, foi adquirido um novo PS com uma MM diferente, e verificouse que esta nova resina possui uma viscosidade, a 160^{\circ} \mathrm{C}, de 3,00 \times 10^{3} poises. E o seu supervisor te perguntou qual seria a mudança de temperatura do processamento necessária para que a viscosidade retorne ao valor de trabalho inicial (1,50 x 103 poises)? Dado: Tg do PS =100^{\circ} \mathrm{C}; 1Pa.s =10 poises.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado nos dá e do que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Temperatura de processamento inicial: T_1 = 160^\circ\mathrm{C}.
  • Viscosidade de trabalho desejada (valor inicial): \eta_1 = 1,50\times10^{3} poises.
  • Nova resina, mesma temperatura T_1, viscosidade medida: \eta_2 = 3,00\times10^{3} poises.
  • Vidro de transição do PS: T_g = 100^\circ\mathrm{C}.
  • Conversão fornecida: 1\\ \mathrm{Pa\cdot s} = 10 poises.
    O que a questão pede:
  • Determinar a mudança de temperatura necessária para que a viscosidade da nova resina passe de \eta_2 (em T_1) para o valor de trabalho \eta_1. Ou seja, achar a temperatura T_2 tal que \eta(T_2)=\eta_1, e então calcular \Delta T = T_2-T_1.

Passo 2

Explicando a relação temperatura–viscosidade que vou usar (a ideia e as variáveis).
  • Para polímeros amorfos acima do T_g, a dependência da viscosidade com a temperatura costuma ser bem descrita pela equação de Williams–Landel–Ferry (WLF). Vou usar a forma padrão na base 10:
\log_{10}\!a_T = -\dfrac{C_1\,(T-T_{\mathrm{ref}})}{C_2 + (T-T_{\mathrm{ref}})},
onde:
  • a_T é o fator de deslocamento em temperatura (relaciona propriedades a duas temperaturas);
  • T e T_{\mathrm{ref}} são temperaturas (em ^\circ\mathrm{C} ou K, desde que sejam diferenças consistentes);
  • C_1 e C_2 são constantes empíricas. Para muitos polímeros amorfos usa-se a forma “universal” com T_{\mathrm{ref}}=T_g, C_1=17{,}44 e C_2=51{,}6.
  • Interpretação prática: a razão entre viscosidades em duas temperaturas pode ser obtida por diferenças dessa função. Como estamos perto da faixa de processamento (acima de T_g), usar a WLF com as constantes indicadas é uma aproximação comum em problemas didáticos.
Observação sobre unidades das viscosidades:
  • As viscosidades estão dadas em poises, mas como vamos usar razão \eta(T_2)/\eta(T_1), a unidade cancela. Se quiser verificar, convertendo para \mathrm{Pa\cdot s}: \eta_1=150\\ \mathrm{Pa\cdot s} e \eta_2=300\\ \mathrm{Pa\cdot s}, a razão continua 1/2.

Passo 3

Relacionando razão de viscosidades com WLF entre duas temperaturas.
  • Para duas temperaturas T_1 e T_2 (com referência T_g) vale, subtraindo as formas WLF:
\log_{10}\!\frac{\eta(T_2)}{\eta(T_1)} = -\;C_1\!\left[\frac{T_2-T_g}{C_2+(T_2-T_g)}-\frac{T_1-T_g}{C_2+(T_1-T_g)}\right].
  • No nosso caso queremos \eta(T_2)=\eta_1 e sabemos \eta(T_1)=\eta_2. Logo a razão desejada é
\frac{\eta_1}{\eta_2}=\frac{1{,}50\times10^{3}}{3{,}00\times10^{3}}=\frac{1}{2}=0{,}5.
  • Tomando logaritmo decimal:
\log_{10}\!\frac{\eta_1}{\eta_2}=\log_{10}(0{,}5)=-0{,}30103\ldots
Substituindo na equação WLF:
-0{,}30103 = -\,C_1\!\left[\frac{T_2-T_g}{C_2+(T_2-T_g)}-\frac{T_1-T_g}{C_2+(T_1-T_g)}\right].

Passo 4

Isolando a incógnita. Primeiro simplifico sinais:
0{,}30103 = C_1\!\left[\frac{T_2-T_g}{C_2+(T_2-T_g)}-\frac{T_1-T_g}{C_2+(T_1-T_g)}\right].
Defino f(T)=\dfrac{T-T_g}{C_2+(T-T_g)}. Então a equação vira
0{,}30103 = C_1\bigl(f(T_2)-f(T_1)\bigr),
ou
f(T_2)=f(T_1)+\dfrac{0{,}30103}{C_1}.
Agora vou calcular f(T_1) com os números fornecidos e achar f(T_2), depois resolver para T_2.

Passo 5

Cálculos numéricos passo a passo (vou manter casas decimais suficientes para não perder precisão):
  • Constantes WLF que uso: C_1=17{,}44, C_2=51{,}6.
  • Calcular T_1-T_g:
T_1-T_g = 160^\circ\mathrm{C}-100^\circ\mathrm{C}=60^\circ\mathrm{C}.
  • Calcular f(T_1):
f(T_1)=\frac{60}{51{,}6+60}=\frac{60}{111{,}6}.
Agora a divisão: 60/111{,}6\approx0{,}53763 (faça essa divisão na prova por aproximação longa se precisar).
  • Calcular o incremento 0{,}30103/C_1:
\frac{0{,}30103}{17{,}44}\approx0{,}01727.
  • Assim
f(T_2)=0{,}53763+0{,}01727=0{,}55490\\ \text{(aprox.)}.

Passo 6

Resolver f(T_2)=\dfrac{T_2-T_g}{C_2+(T_2-T_g)} para T_2.
  • Defina x=T_2-T_g. Então
\frac{x}{C_2+x}=f(T_2)\quad\Rightarrow\quad x=f(T_2)\,(C_2+x).
  • Isolando x:
x\bigl(1-f(T_2)\bigr)=f(T_2)\,C_2\quad\Rightarrow\quad x=\frac{f(T_2)\,C_2}{1-f(T_2)}.
  • Substituindo números:
x=\frac{0{,}55490\times51{,}6}{1-0{,}55490}=\frac{28{,}60\\ (\text{aprox.})}{0{,}44510}\approx64{,}26^\circ\mathrm{C}.
  • Portanto
T_2=T_g+x=100^\circ\mathrm{C}+64{,}26^\circ\mathrm{C}=164{,}26^\circ\mathrm{C}.
  • Mudança de temperatura necessária:
\Delta T = T_2-T_1 = 164{,}26^\circ\mathrm{C}-160^\circ\mathrm{C}=4{,}26^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação e verificações finais (empático e prático):
  • Resultado: é preciso aumentar a temperatura em aproximadamente 4{,}3^\circ\mathrm{C} para reduzir a viscosidade da nova resina de 3{,}00\times10^{3} poises para 1{,}50\times10^{3} poises segundo a aproximação WLF.
  • Observações de prova/uso prático:
    • Usei a equação WLF com as constantes “universais” C_1=17{,}44, C_2=51{,}6 e referência T_g. Em exercícios é costume usar essas constantes quando não são dadas outras.
    • A razão \eta_1/\eta_2 torna desnecessária a conversão de poises para \mathrm{Pa\cdot s}, mas se preferir converter basta dividir por 10 (como o enunciado indicou): \eta_1=150\\ \mathrm{Pa\cdot s}, \eta_2=300\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • Aumentar a temperatura reduz a viscosidade; o resultado positivo de \Delta T confirma isso.
    • Em aplicação real, pequenas diferenças nas constantes WLF específicas do polímero podem alterar um pouco o valor numérico; mas para prova esta é a metodologia e o valor esperado.

Resposta

\Delta T \approx +4{,}26^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados