(1,0 pontos) Utilizando a equação da variação linear/aditividade, forneça uma estimativa da fração em massa do plastificante necessário para abaixar a temperatura de transição vítrea do PVC, para 50^{\circ} \mathrm{C}. Dados Tg do PVC =83^{\circ} \mathrm{C} e Tg do plastificante =-85^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

Vou organizar o que o enunciado dá e o que pede (tudo em termos claros):
  • Pede a fração em massa do plastificante necessária para que a mistura PVC+plastificante tenha temperatura de transição vítrea igual a 50^\circ\mathrm{C}.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura de transição vítrea do PVC: T_{g,\text{PVC}} = 83^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura de transição vítrea do plastificante: T_{g,\text{pl}} = -85^\circ\mathrm{C}.
  • Incógnita: fração em massa do plastificante, que vou chamar de w_{\text{pl}}. A fração em massa do PVC será w_{\text{PVC}}=1-w_{\text{pl}}.

Passo 2

Explico a hipótese pedida: “equação da variação linear/aditividade”. Isso significa assumir, de forma aproximada, que a temperatura de transição vítrea da mistura é a média ponderada das Tg dos componentes pelas frações em massa. Em fórmula:
T_{g,\text{mix}} = w_{\text{PVC}}\,T_{g,\text{PVC}} + w_{\text{pl}}\,T_{g,\text{pl}}.
Aqui:
  • T_{g,\text{mix}} é a Tg desejada da mistura (no problema, 50^\circ\mathrm{C});
  • w_{\text{PVC}} é a fração em massa do PVC;
  • w_{\text{pl}} é a fração em massa do plastificante;
  • T_{g,\text{PVC}} e T_{g,\text{pl}} são as Tg dos componentes puros.
    Observação curta: essa é uma aproximação linear simples — na prática podem ser usados modelos mais refinados (ex.: Gordon–Taylor), mas o enunciado pediu a variação linear, então usamos isto.

Passo 3

Substituo w_{\text{PVC}}=1-w_{\text{pl}} e os valores numéricos na equação:
50 = (1-w_{\text{pl}})\,83 + w_{\text{pl}}\,(-85).
Agora desenvolvo passo a passo a álgebra para resolver para w_{\text{pl}}:
50 = 83 - 83\,w_{\text{pl}} - 85\,w_{\text{pl}}.
50 = 83 - (83+85)\,w_{\text{pl}} = 83 - 168\,w_{\text{pl}}.
168\,w_{\text{pl}} = 83 - 50 = 33.
w_{\text{pl}} = \dfrac{33}{168}.

Passo 4

Faço a simplificação da fração e a interpretação em porcentagem (útil na prova): 33 e 168 têm fator comum 3, então
w_{\text{pl}} = \dfrac{33}{168} = \dfrac{11}{56}.
Convertendo para decimal e percentual (apenas para interpretação final):
w_{\text{pl}} \approx 0,1964 \quad\text{ou}\quad 19,64\%.
Interpretação: aproximadamente 19{,}6\% em massa da mistura deve ser plastificante para que a Tg da mistura chegue a 50^\circ\mathrm{C}, segundo a regra linear adotada.

Resposta

\displaystyle w_{\text{pl}}=\dfrac{11}{56}\approx0,1964\quad(19{,}64\%)

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