Uma empresa produtora de doces verificou que o custo por pacotes de 1 quilograma (em reais) para a produção mensal de x toneladas de balas pode ser calculado por meio da seguinte lei matemática:
c(x)=\frac{x^{2}}{10.000}-\frac{x}{10}+30, \operatorname{com} 100 \leqslant x \leqslant 800
a) Determine o custo (em reais) por quilograma de bala dessa empresa com a produção de 100 toneladas de balas.
b) Quanto essa empresa gasta por quilograma para produzir 200 toneladas de balas?
c) Pode-se afirmar que quanto mator o número de toneladas de balas produzidas menor será o custo por pacotes de 1 quilograma de balas?
d) Quantas toneladas de balas deverão ser produzidas para obter um custo minimo por quilograma?
e) Qual é o valor desse custo minimo?

Passo 1

O enunciado nos dá a função de custo por quilograma
c(x)=\frac{x^{2}}{10000}-\frac{x}{10}+30,
onde x é a produção mensal em toneladas e 100\le x\le800. Pede-se:
a) c(100)
b) c(200)
c) verificar se c decresce sempre com x
d) valor de x que minimiza c(x)
e) custo mínimo obtido.
Para resolver, vamos avaliar a função em pontos, estudar sua derivada para monotonicidade e usar a fórmula do vértice de uma parábola.

Passo 2

Para x=100, fazemos a substituição em c(x):
c(100) =\frac{100^{2}}{10000}-\frac{100}{10}+30 =1-10+30 =21.

Passo 3

Para x=200, substituímos em c(x):
c(200) =\frac{200^{2}}{10000}-\frac{200}{10}+30 =4-20+30 =14.

Passo 4

Para estudar monotonicidade, calculamos a derivada:
c'(x) =\frac{2x}{10000}-\frac{1}{10} =\frac{x}{5000}-\frac{1}{10}.
A raiz de c'(x)=0 ocorre em x=500. Como c'(x)<0 para x<500 e c'(x)>0 para x>500, c decresce até 500 toneladas e depois cresce. Logo, não é verdade que quanto maior x, menor será sempre o custo.

Passo 5

O valor de x que minimiza c(x) (vértice da parábola) é
x_v=-\frac{b}{2a},
onde a=\tfrac1{10000} e b=-\tfrac1{10}. Assim,
x_v =\frac{0,1}{2\cdot0,0001} =500.

Passo 6

O custo mínimo é c(500):
c(500) =\frac{500^{2}}{10000}-\frac{500}{10}+30 =25-50+30 =5.

Resposta

a) R\$21
b) R\$14
c) Não; o custo diminui até 500 t e depois aumenta.
d) 500 toneladas
e) R\$5 por quilograma.

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