Uma empresa produtora de doces verificou que o custo por pacotes de 1 quilograma (em reais) para a produção mensal de
toneladas de balas pode ser calculado por meio da seguinte lei matemática:
a) Determine o custo (em reais) por quilograma de bala dessa empresa com a produção de 100 toneladas de balas.
b) Quanto essa empresa gasta por quilograma para produzir 200 toneladas de balas?
c) Pode-se afirmar que quanto mator o número de toneladas de balas produzidas menor será o custo por pacotes de 1 quilograma de balas?
d) Quantas toneladas de balas deverão ser produzidas para obter um custo minimo por quilograma?
e) Qual é o valor desse custo minimo?
a) Determine o custo (em reais) por quilograma de bala dessa empresa com a produção de 100 toneladas de balas.
b) Quanto essa empresa gasta por quilograma para produzir 200 toneladas de balas?
c) Pode-se afirmar que quanto mator o número de toneladas de balas produzidas menor será o custo por pacotes de 1 quilograma de balas?
d) Quantas toneladas de balas deverão ser produzidas para obter um custo minimo por quilograma?
e) Qual é o valor desse custo minimo?
Passo 1
O enunciado nos dá a função de custo por quilograma
onde
é a produção mensal em toneladas e
. Pede-se:
a)
b)
c) verificar se decresce sempre com
d) valor de que minimiza
e) custo mínimo obtido.
Para resolver, vamos avaliar a função em pontos, estudar sua derivada para monotonicidade e usar a fórmula do vértice de uma parábola.
a)
b)
c) verificar se
d) valor de
e) custo mínimo obtido.
Para resolver, vamos avaliar a função em pontos, estudar sua derivada para monotonicidade e usar a fórmula do vértice de uma parábola.
Passo 2
Para
, fazemos a substituição em
:
Passo 3
Para
, substituímos em
:
Passo 4
Para estudar monotonicidade, calculamos a derivada:
A raiz de
ocorre em
. Como
para
e
para
,
decresce até
toneladas e depois cresce. Logo, não é verdade que quanto maior
, menor será sempre o custo.
Passo 5
O valor de
que minimiza
(vértice da parábola) é
onde
e
. Assim,
Passo 6
O custo mínimo é
:
Resposta
a)
b)
c) Não; o custo diminui até t e depois aumenta.
d) toneladas
e) por quilograma.
b)
c) Não; o custo diminui até
d)
e)