Uma pedra é lançada verticalmente para cima. Um segundo após o lançamento, a pedra atinge 5 metros de altura e começa a descer. A lei que descreve a altura h, em metro, em relação ao tempo t, em segundo, é do tipo h(t)=a t^{2}+b t, \operatorname{com} a, b \in \mathbb{R} e a \neq 0.
a) Determine a lei dessa função.
b) Qual é a altura da pedra 2 segundos após o lançamento?
c) Construa o gráfico correspondente a essa situação.
d) Compare o tempo de subida com o tempo de descida da pedra. O que vocé pode concluir?

Passo 1

O enunciado diz que uma pedra é lançada verticalmente para cima com altura dada por
h(t)=a\,t^{2}+b\,t,
que é um polinômio de segundo grau passando pela origem (pois em t=0 a pedra está no chão). Aos t=1 s temos h(1)=5 m e esse é o instante de altura máxima, logo a velocidade ali é zero. Para resolver isso, vamos usar as condições
  1. h(1)=5,
  2. v(1)=0 com v(t)=h'(t).

Passo 2

Aplicando h(1)=5 em
h(1)=a\cdot1^{2}+b\cdot1=a+b,
obtemos
a+b=5.

Passo 3

A velocidade é a derivada de h:
v(t)=h'(t)=2a\,t + b.
No instante t=1, o movimento inverte, então
v(1)=2a\cdot1 + b = 2a + b = 0.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema
\begin{cases} a + b = 5,\\\\ 2a + b = 0. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
(a+b)-(2a+b)=5-0\;\Longrightarrow\;-a=5\;\Longrightarrow\;a=-5.
Então
b=5 - a =5 -(-5)=10.
Logo a lei do movimento é
\boxed{h(t)=-5\,t^{2}+10\,t.}

Passo 5

Para t=2 s, calculamos
h(2)=-5\cdot2^{2}+10\cdot2=-5\cdot4+20=-20+20=0.
Ou seja, aos 2 s a pedra retorna ao chão.

Passo 6

O gráfico de h(t)=-5t^{2}+10t é uma parábola voltada para baixo com:
– vértice em \bigl(1,\,5\bigr),
– zeros em t=0 e t=2.
Fisicamente consideramos apenas 0\le t\le2. A curva sobe até (1,5) e depois desce simetricamente de volta a (2,0).

Passo 7

O tempo de subida é de t=0 até t=1, ou seja, 1 s, e o tempo de descida é de t=1 até t=2, também 1 s. Concluímos que, nesse modelo ideal sem resistência do ar, o tempo de subida é igual ao tempo de descida.

Resposta

a) \displaystyle h(t)=-5t^{2}+10t.
b) A altura em 2 s é h(2)=0 m.
c) É uma parábola voltada para baixo com vértice em (1,5) e interceptos em (0,0) e (2,0).
d) O tempo de subida (1 s) é igual ao tempo de descida (1 s).

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