Uma pedra é lançada verticalmente para cima. Um segundo após o lançamento, a pedra atinge 5 metros de altura e começa a descer. A lei que descreve a altura h, em metro, em relação ao tempo t, em segundo, é do tipo h(t)=a t^{2}+b t, \operatorname{com} a, b \in \mathbb{R} e a \neq 0.
a) Determine a lei dessa função.
b) Qual é a altura da pedra 2 segundos após o lançamento?
c) Construa o gráfico correspondente a essa situação.
d) Compare o tempo de subida com o tempo de descida da pedra. O que vocé pode concluir?
Passo 1
O enunciado diz que uma pedra é lançada verticalmente para cima com altura dada por
h(t)=a\,t^{2}+b\,t,
que é um polinômio de segundo grau passando pela origem (pois em t=0 a pedra está no chão). Aos t=1 s temos h(1)=5 m e esse é o instante de altura máxima, logo a velocidade ali é zero. Para resolver isso, vamos usar as condições
h(1)=5,
v(1)=0 com v(t)=h'(t).
Passo 2
Aplicando h(1)=5 em
h(1)=a\cdot1^{2}+b\cdot1=a+b,
obtemos
a+b=5.
Passo 3
A velocidade é a derivada de h:
v(t)=h'(t)=2a\,t + b.
No instante t=1, o movimento inverte, então
v(1)=2a\cdot1 + b = 2a + b = 0.
Passo 4
Agora resolvemos o sistema
\begin{cases} a + b = 5,\\\\ 2a + b = 0. \end{cases}
O gráfico de h(t)=-5t^{2}+10t é uma parábola voltada para baixo com:
– vértice em \bigl(1,\,5\bigr),
– zeros em t=0 e t=2.
Fisicamente consideramos apenas 0\le t\le2. A curva sobe até (1,5) e depois desce simetricamente de volta a (2,0).
Passo 7
O tempo de subida é de t=0 até t=1, ou seja, 1 s, e o tempo de descida é de t=1 até t=2, também 1 s. Concluímos que, nesse modelo ideal sem resistência do ar, o tempo de subida é igual ao tempo de descida.
Resposta
a) \displaystyle h(t)=-5t^{2}+10t.
b) A altura em 2 s é h(2)=0 m.
c) É uma parábola voltada para baixo com vértice em (1,5) e interceptos em (0,0) e (2,0).
d) O tempo de subida (1 s) é igual ao tempo de descida (1 s).