Uma empresa produz barras de cereal cuja formulação se baseia no seguinte conjunto de ingredientes: aveia, amêndoas e castanha do Brasil. Em um dado momento, ocorreu uma grande variação nos preços da castanha do Brasil e da amêndoa. Por causa disso, a empresa necessita modificar a receita para minimizar novamente o custo de produção da barra de cereais. É importante garantir que a nova receita continue garantindo os mesmos níveis nutricionais de antes, garantindo pelo menos 4,3 gramas de proteína e 6,5 gramas de fibras por barra de 50 g . Por questões de sabor, deve-se usar 4 g de chocolate na mistura, resultando em no máximo 46 g para o restante da formulação.
As informações nutricionais e custos dos ingredientes são as seguintes:
As informações nutricionais e custos dos ingredientes são as seguintes:
Ingrediente | Custo por kg | Proteína por kg | Fíbras por kg |
---|---|---|---|
Aveia |
|
24 g | 170 g |
Amêndoas |
|
186 g | 116 g |
Castanha do <br> Brasil |
|
145 g | 79 g |
e o problema na forma de uma programação linear, resolva utilizando o método simplex, indique a nova composição que deverá ser utilizada e o novo custo da barra de cereais.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos uma barra de cereal de 50 g, sendo sempre 4 g de chocolate e até 46 g distribuídos entre aveia (x₁), amêndoas (x₂) e castanha-do-Brasil (x₃). Queremos minimizar o custo (R$) mantendo pelo menos 4,3 g de proteína e 6,5 g de fibras. A tabela é:
– Aveia: custo 12 R$/kg, 24 g prot./kg, 170 g fib./kg
– Amêndoas: custo 45 R$/kg, 186 g prot./kg, 116 g fib./kg
– Castanha: custo 32 R$/kg, 145 g prot./kg, 79 g fib./kg
– Amêndoas: custo 45 R$/kg, 186 g prot./kg, 116 g fib./kg
– Castanha: custo 32 R$/kg, 145 g prot./kg, 79 g fib./kg
Conteúdo da matéria: programação linear e método simplex (na prática, vamos buscar vértices do poliedro viável).
Passo 2
Definindo em gramas:
x₁ = aveia (g), x₂ = amêndoas (g), x₃ = castanha (g).
x₁ = aveia (g), x₂ = amêndoas (g), x₃ = castanha (g).
- Peso máximo disponível:
- Proteína ≥ 4,3 g:
- Fibras ≥ 6,5 g:
Função custo (em R$):
E sempre
.
Passo 3
Pela teoria do simplex, a solução ótima de um PL está num vértice do poliedro viável. Como o custo por grama é mais baixo na aveia (0,012 R$/g), depois na castanha (0,032 R$/g) e mais alto na amêndoa (0,045 R$/g), a ponta ótima costuma ter
(castanha fica de fora) e usar só aveia e amêndoas. Então reduzimos o problema a duas variáveis:
Passo 4
Em duas variáveis, os candidatos a vértice são as interseções de pares de restrições ativas. Testamos:
a) peso & proteína ativos (igualdades) e b) peso & fibras ativos.
a) peso & proteína ativos (igualdades) e b) peso & fibras ativos.
a) Resolver
Da 1ª:
. Substituindo na 2ª:
Verificamos a fibra:
ok.
b) Resolver peso & fibras:
mas aí a proteína dá
,
é viável também.
é viável também.
Passo 5
Comparamos os custos nesses vértices (lembrando que
):
a)
:
b)
:
O menor custo é
R$, no vértice (peso+proteína).
Resposta
Aveia
g, amêndoas
g, castanha
,g (e 4 g de chocolate).
Custo mínimo por barra: R$ 1,20.
Custo mínimo por barra: R$ 1,20.