Uma empresa produz barras de cereal cuja formulação se baseia no seguinte conjunto de ingredientes: aveia, amêndoas e castanha do Brasil. Em um dado momento, ocorreu uma grande variação nos preços da castanha do Brasil e da amêndoa. Por causa disso, a empresa necessita modificar a receita para minimizar novamente o custo de produção da barra de cereais. É importante garantir que a nova receita continue garantindo os mesmos níveis nutricionais de antes, garantindo pelo menos 4,3 gramas de proteína e 6,5 gramas de fibras por barra de 50 g . Por questões de sabor, deve-se usar 4 g de chocolate na mistura, resultando em no máximo 46 g para o restante da formulação.
As informações nutricionais e custos dos ingredientes são as seguintes:
Ingrediente Custo por kg Proteína por kg Fíbras por kg
Aveia R 24 g 170 g
Amêndoas | 24 g | 170 g | | Amêndoas | 186 g 116 g
Castanha do <br> Brasil 45,00 145 g 79 g
e o problema na forma de uma programação linear, resolva utilizando o método simplex, indique a nova composição que deverá ser utilizada e o novo custo da barra de cereais.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos uma barra de cereal de 50 g, sendo sempre 4 g de chocolate e até 46 g distribuídos entre aveia (x₁), amêndoas (x₂) e castanha-do-Brasil (x₃). Queremos minimizar o custo (R$) mantendo pelo menos 4,3 g de proteína e 6,5 g de fibras. A tabela é:
– Aveia: custo 12 R$/kg, 24 g prot./kg, 170 g fib./kg
– Amêndoas: custo 45 R$/kg, 186 g prot./kg, 116 g fib./kg
– Castanha: custo 32 R$/kg, 145 g prot./kg, 79 g fib./kg
Conteúdo da matéria: programação linear e método simplex (na prática, vamos buscar vértices do poliedro viável).

Passo 2

Definindo em gramas:
x₁ = aveia (g), x₂ = amêndoas (g), x₃ = castanha (g).
  1. Peso máximo disponível:
x1+x2+x3<=46
  1. Proteína ≥ 4,3 g:
241000x1+1861000x2+1451000x3>=4.3
  1. Fibras ≥ 6,5 g:
1701000x1+1161000x2+791000x3>=6.5
Função custo (em R$):
min;C = 121000x1+451000x2+321000x3
E sempre .

Passo 3

Pela teoria do simplex, a solução ótima de um PL está num vértice do poliedro viável. Como o custo por grama é mais baixo na aveia (0,012 R$/g), depois na castanha (0,032 R$/g) e mais alto na amêndoa (0,045 R$/g), a ponta ótima costuma ter /g), depois na castanha (0,032 R (castanha fica de fora) e usar só aveia e amêndoas. Então reduzimos o problema a duas variáveis:
x1+x2=46, 241000x1+1861000x2>=4.3, 1701000x1+1161000x2>=6.5

Passo 4

Em duas variáveis, os candidatos a vértice são as interseções de pares de restrições ativas. Testamos:
a) peso & proteína ativos (igualdades) e b) peso & fibras ativos.
a) Resolver
x1+x2=46, 0.024,x1+0.186,x2=4.3
Da 1ª: 0.024x1+0.186(46-x1)=4.3 ;Longrightarrow;-0.162x1=4.3-8.556=-4.256 ;Longrightarrow;x1=26.2938 g, . Substituindo na 2ª:
x2=46-26.2938=19.7062 g
0.170cdot26.2938+0.116cdot19.7062approx4.480+2.288=6.768>=6.5,
Verificamos a fibra:
x1+x2=46, 0.170,x1+0.116,x2=6.5 ;Longrightarrow; x1=21.5556,;x2=24.4444,
ok.
b) Resolver peso & fibras:
mas aí a proteína dá
,
é viável também.

Passo 5

Comparamos os custos nesses vértices (lembrando que C=0.012cdot26.2938+0.045cdot19.7062 approx0.3155+0.8868=1.2023;R$ ):
a) C=0.012cdot21.5556+0.045cdot24.4444 approx0.2587+1.1000=1.3587;R$ :
b) :
O menor custo é R$, no vértice (peso+proteína).

Resposta

Aveia g, amêndoas g, castanha ,g (e 4 g de chocolate).
Custo mínimo por barra: R$ 1,20.

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