Uma refinaria tem disponível dois óleos crus com os rendimentos em produtos mostrados na tabela abaixo. Por causa de limitações nos equipamentos e tanques de armazenamento, a produção de gasolina, querosene e óleo combustível devem ser limitadas, como também mostrado na tabela. O lucro no processamento do óleo cru 1 é de R$ 1,00/bbl (barril) e de R$ 0,70/bbl para o óleo cru 2. Encontre a alimentação ótima dos dois óleos para a refinaria de modo a maximizar o lucro desta.
Rendimento em porcentagem <br> volumétrica Taxa de produção <br> máxima (bbl/dia)
Óleo cru 1 Óleo cru 2
Gasolina 70 31 6000
Querosene 6 9 2400
Óleo combustível 24 60 12000

Passo 1

Então, o que a questão tá pedindo? A gente tem uma refinaria que pode processar dois óleos crus (chamados de “óleo 1” e “óleo 2”). Cada um deles gera gasolina, querosene e óleo combustível em certas frações volumétricas, e há limites diários de produção para esses três produtos. Queremos decidir quantos barris por dia de cada óleo cru processar (vamos chamar essas quantidades de 1,00 por barril do ó<=o 1 e R e ) de modo a maximizar o lucro total, sabendo que o lucro é de R$ 1,00 por barril do óleo 1 e R$ 0{,}70 por barril do óleo 2.
Conteúdo da matéria: Programação Linear (PL), mais especificamente modelo de maximização com duas variáveis e restrições lineares.
O que vamos precisar:
  • Definir variáveis de decisão;
  • Montar função-objetivo;
  • Traduzir os limites de produção em desigualdades;
  • Encontrar os pontos extremos do polígono factível (canto a canto) e comparar os lucros.

Passo 2

Definindo as variáveis e o modelo
  1. Variáveis: x1 = barris por dia de ó<=o cru 1, x2 = barris por dia de ó<=o cru 2 óó
  2. Função-objetivo (lucro total): max Z = 1,00,x1 + 0,70,x2
  3. Restrições de produto máximo:
    • Gasolina (máx. 6000 bbl/dia): 0.70,x1 ;+; 0.31,x2 ;<=; 6000
    • Querosene (máx. 2400 bbl/dia): 0.06,x1 ;+; 0.09,x2 ;<=; 2400
    • Óleo combustível (máx. 12000 bbl/dia): 0.24,x1 ;+; 0.60,x2 ;<=; 12000
  4. Não negatividade: x1 >= 0, x2 >= 0

Passo 3

Esquema de resolução (método gráfico / canto a canto)
Como são apenas duas variáveis, a região factível é um polígono no plano . Os vértices relevantes são:
  1. Origem .
  2. Interseções de cada restrição com o eixo (colocando ).
  3. Interseções de cada restrição com o eixo (colocando ).
  4. Interseções par a par das retas, se acontecerem em .
Vamos ver quais pontos ficam mesmo dentro de todas as restrições:

Passo 4

Cálculo dos vértices factíveis e lucros
  1. Ponto 0.70,x1 = 6000 ;Rightarrow; x1 = 60000.70approx 8571,43, : 0.06cdot8571,43=514,29<=2400, 0.24cdot8571,43=2057,14<=12000 .
  2. Restrição de gasolina com Z = 1cdot8571,43 + 0,7cdot0 = 8571,43 : 0.31,x2 = 6000 ;Rightarrow; x2 = 60000.31approx 19354,84, e aí 0.09cdot19354,84=1741,94<=2400, 0.60cdot19354,84=11612,90<=12000 . Verifica querosene e óleo combustível? Z = 1cdot0 + 0,7cdot19354,84 approx 13548,39 Logo é factível. Lucro:
  3. Restrição de gasolina com : e . Verifica: Também é factível. Lucro:
  4. Interseções entre outras pares de restrições saem negativas ou violam alguma outra, então não entram.
Comparando os dos três pontos factíveis, o maior é que acontece em .

Resposta

Alimentação ótima: processar zero barris do óleo cru 1 e cerca de barris/dia do óleo cru 2, obtendo lucro máximo de R$ 13548,39 por dia.

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