Uma refinaria tem disponível dois óleos crus com os rendimentos em produtos mostrados na tabela abaixo. Por causa de limitações nos equipamentos e tanques de armazenamento, a produção de gasolina, querosene e óleo combustível devem ser limitadas, como também mostrado na tabela. O lucro no processamento do óleo cru 1 é de R$ 1,00/bbl (barril) e de R$ 0,70/bbl para o óleo cru 2. Encontre a alimentação ótima dos dois óleos para a refinaria de modo a maximizar o lucro desta.
Rendimento em porcentagem <br> volumétrica | Taxa de produção <br> máxima (bbl/dia) | ||
---|---|---|---|
Óleo cru 1 | Óleo cru 2 | ||
Gasolina | 70 | 31 | 6000 |
Querosene | 6 | 9 | 2400 |
Óleo combustível | 24 | 60 | 12000 |
Passo 1
Então, o que a questão tá pedindo? A gente tem uma refinaria que pode processar dois óleos crus (chamados de “óleo 1” e “óleo 2”). Cada um deles gera gasolina, querosene e óleo combustível em certas frações volumétricas, e há limites diários de produção para esses três produtos. Queremos decidir quantos barris por dia de cada óleo cru processar (vamos chamar essas quantidades de
e
) de modo a maximizar o lucro total, sabendo que o lucro é de R$ 1,00 por barril do óleo 1 e R$ 0{,}70 por barril do óleo 2.
Conteúdo da matéria: Programação Linear (PL), mais especificamente modelo de maximização com duas variáveis e restrições lineares.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Definir variáveis de decisão;
- Montar função-objetivo;
- Traduzir os limites de produção em desigualdades;
- Encontrar os pontos extremos do polígono factível (canto a canto) e comparar os lucros.
Passo 2
Definindo as variáveis e o modelo
- Variáveis:
- Função-objetivo (lucro total):
- Restrições de produto máximo:
- Gasolina (máx. 6000 bbl/dia):
- Querosene (máx. 2400 bbl/dia):
- Óleo combustível (máx. 12000 bbl/dia):
- Gasolina (máx. 6000 bbl/dia):
- Não negatividade:
Passo 3
Esquema de resolução (método gráfico / canto a canto)
Como são apenas duas variáveis, a região factível é um polígono no plano . Os vértices relevantes são:
Como são apenas duas variáveis, a região factível é um polígono no plano
- Origem
. - Interseções de cada restrição com o eixo
(colocando ). - Interseções de cada restrição com o eixo
(colocando ). - Interseções par a par das retas, se acontecerem em
.
Vamos ver quais pontos ficam mesmo dentro de todas as restrições:
Passo 4
Cálculo dos vértices factíveis e lucros
- Ponto
: . - Restrição de gasolina com
: e aí . Verifica querosene e óleo combustível? Logo é factível. Lucro: - Restrição de gasolina com
: e . Verifica: Também é factível. Lucro: - Interseções entre outras pares de restrições saem negativas ou violam alguma outra, então não entram.
Comparando os
dos três pontos factíveis, o maior é
que acontece em
.
Resposta
Alimentação ótima: processar zero barris do óleo cru 1 e cerca de
barris/dia do óleo cru 2, obtendo lucro máximo de R$ 13548,39 por dia.