Uma empresa no setor de energia produz e oferta gás natural, e sua função de custo total é dada por:
C T(Q)=50+10 Q
Em que:
  • CT(Q): Custo total em função da quantidade produzida Q .
  • Q: Quantidade de gás produzida (em milhões de metros cúbicos).
    A oferta da empresa no mercado é governada pela condição de que P=MC, onde:
  • MC: Custo marginal da empresa.
  • P: Preço de mercado do gás natural.
    A função de demanda é dada por:
Q d=100-2 P
E a oferta é igual à demanda no equilíbrio.
Agora, o governo impõe um imposto lump-sum (fixo) de T=30 sobre a empresa produtora.
Determine o ponto de equilíbrio antes da incidência do imposto (preço e quantidade).

Passo 1

Beleza, bora lá. A questão é sobre uma firma que produz gás natural e tem custo total dado por
CT(Q)=50+10Q
Também sabemos que, em concorrência perfeita, a empresa oferece até o ponto em que
P = MC
onde MC é o custo marginal (a derivada de CT em relação a Q). A demanda de mercado é
Qd = 100 - 2P,
Precisamos, antes do imposto, achar o ponto de equilíbrio (preço e quantidade) usando essas relações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é custo marginal. O custo marginal MC é quanto o custo total varia quando a gente produz uma unidade a mais de Q. Matematicamente, é a derivada de CT(Q):
MC = d,CTdQ,
Como
CT(Q)=50+10Q,,
a derivada em relação a Q é simplesmente
MC = 10,
Ou seja, não importa quantos milhões de metros cúbicos a firma produza, cada unidade extra custa sempre 10 (em nossa mesma unidade monetária).

Passo 3

Em concorrência perfeita a empresa escolhe Q tal que o preço de mercado P seja igual ao MC. Então a oferta da firma é dada implicitamente por
P = MC = 10,
Isso significa que, seja qual for a quantidade, ela só vai aceitar vender se o preço do gás for exatamente 10.

Passo 4

Agora olhamos a demanda para ver quantos milhões de metros cúbicos vão ser comprados a esse preço. A demanda é
Qd = 100 - 2P,
Basta substituir P=10 nessa fórmula para achar a quantidade demandada em equilíbrio.

Passo 5

Substituindo P = 10 em Qd = 100 - 2P, temos:
Q = 100 - 2cdot10 = 100 - 20 = 80,
Então a quantidade de equilíbrio é Q^* = 80 milhões de m³, e o preço de equilíbrio é P^* = 10.

Resposta

Preço de equilíbrio antes do imposto: P^* = 10.
Quantidade de equilíbrio antes do imposto: Q^* = 80 milhões de m³.

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