No setor de petróleo e gás, a produção de barris de petróleo por dia (QQ) é descrita por uma função de produção Cobb-Douglas dada por:
Q(L, K)=50 L^0,5 K^0.5
Em que:
  • L: Quantidade de mão de obra empregada (em milhares de trabalhadores).
  • K: Quantidade de capital investido (em milhões de dólares).
    Considere que a quantidade de capital K é constante e igual a 16 milhões de dólares ( K=16).
    Derive as expressões para o Produto Marginal do Trabalho (PMgL) e o Produto Médio do Trabalho (PMédioL) e calcule seus valores quando L=4

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma função de produção Cobb-Douglas que diz quantos barris de petróleo (Q) saem por dia a partir de mão de obra (L) e capital (K):
Q(L,K)=50,L^0,5K^0,5
O exercício fixa e pede duas coisas para a variável trabalho :
  1. o Produto Marginal do Trabalho (PMgL), ou seja, a taxa de variação de quando eu aumento infinitesimalmente;
  2. o Produto Médio do Trabalho (PMeL), que é só .
    Depois, calcular esses dois valores para .
    Para isso, vamos usar derivada (para PMgL) e divisão simples (para PMeL).

Passo 2

Vamos achar o PMgL, que é Q(L,16)=50cdot4;L^0,5=200,L^0,5 .
Como PMgL =ddLl(200,L^0,5r) =200cdot0,5,L^-0,5 =100,L^-0,5 =100raizL , primeiro note que . Então
Agora derivamos em relação a :

Passo 3

O PMeL é mais direto, é só PMeL =Q(L,16)L =200,L^0,5L =200,L^-0,5 =200raizL . Nesse caso:

Passo 4

Agora plugamos :
-
-

Resposta

PMgL e PMeL .

Exercícios relacionados