No setor de petróleo e gás, a produção de barris de petróleo por dia (QQ) é descrita por uma função de produção Cobb-Douglas dada por:
Em que:
- L: Quantidade de mão de obra empregada (em milhares de trabalhadores).
- K: Quantidade de capital investido (em milhões de dólares).
Considere que a quantidade de capital K é constante e igual a 16 milhões de dólares (
).
Derive as expressões para o Produto Marginal do Trabalho (PMgL) e o Produto Médio do Trabalho (PMédioL) e calcule seus valores quando
Considere que a quantidade de capital K é constante e igual a 16 milhões de dólares (
Derive as expressões para o Produto Marginal do Trabalho (PMgL) e o Produto Médio do Trabalho (PMédioL) e calcule seus valores quando
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma função de produção Cobb-Douglas que diz quantos barris de petróleo (Q) saem por dia a partir de mão de obra (L) e capital (K):
O exercício fixa
e pede duas coisas para a variável trabalho
:
- o Produto Marginal do Trabalho (PMgL), ou seja, a taxa de variação de
quando eu aumento infinitesimalmente; - o Produto Médio do Trabalho (PMeL), que é só
.
Depois, calcular esses dois valores para.
Para isso, vamos usar derivada (para PMgL) e divisão simples (para PMeL).
Passo 2
Vamos achar o PMgL, que é
.
Como , primeiro note que
. Então
Como
Agora derivamos em relação a
:
Passo 3
O PMeL é mais direto, é só
. Nesse caso:
Passo 4
Agora plugamos
:
-
-
-
-
Resposta
PMgL
e PMeL
.