Uma empresa no setor de energia produz e oferta gás natural, e sua função de custo total é dada por:
C T(Q)=50+10 Q
Em que:
  • CT(Q): Custo total em função da quantidade produzida Q .
  • Q: Quantidade de gás produzida (em milhões de metros cúbicos).
    A oferta da empresa no mercado é governada pela condição de que P=MC, onde:
  • MC: Custo marginal da empresa.
  • P: Preço de mercado do gás natural.
    A função de demanda é dada por:
Q d=100-2 P
E a oferta é igual à demanda no equilíbrio.
Agora, o governo impõe um imposto lump-sum (fixo) de T=30 sobre a empresa produtora.
Determine o ponto de equilíbrio após a incidência do imposto (preço e quantidade).

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que diz o enunciado e o que precisamos.
A empresa tem custo total
CT(Q)=50+10Q
Produz gás natural em concorrência perfeita, então a oferta dela no mercado vem da regra
P=MC,
onde Qd = 100 - 2P é o custo marginal, ou seja, a derivada de em relação a .
A demanda de mercado é

O equilíbrio ocorre quando oferta = demanda.
Agora o governo cobra um imposto lump-sum (fixo) de . A ideia é ver como isso mexe (ou não) no equilíbrio preço-quantidade.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o custo marginal antes do imposto.
CT é
CT(Q)=50+10Q
Custo marginal MC = d,CTdQ = 10 é a derivada:
P = 10
Ou seja, a cada unidade extra produzida, o custo sobe em 10.
Como , a oferta da firma é simplesmente

Isso é uma reta horizontal de oferta em concorrência perfeita.

Passo 3

Agora entra o imposto lump-sum de CTnovo(Q) = (50 + 10Q) + 30 = 80 + 10Q. Lump-sum quer dizer que é um custo fixo adicional, não depende de MCnovo = d,CTnovodQ = 10. Então o novo custo total fica
P = MCnovo = 10
Mas, atenção: o custo marginal continua sendo a derivada de :
Ou seja, o imposto fixo não muda o custo marginal. Logo, a oferta da firma ainda é

Passo 4

Com oferta Q^* = 100 - 2cdot 10 = 100 - 20 = 80 e demanda , a gente acha a quantidade de equilíbrio trocando na demanda:

E o preço já sabemos que é .

Resposta

No equilíbrio após o imposto lump-sum de 30:
Preço e quantidade .

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