No setor de petróleo e gás, a produção de barris de petróleo por dia (QQ) é descrita por uma função de produção Cobb-Douglas dada por:
Q(L, K)=50 L^0,5 K^0.5
Em que:
  • L: Quantidade de mão de obra empregada (em milhares de trabalhadores).
  • K: Quantidade de capital investido (em milhões de dólares).
    Considere que a quantidade de capital K é constante e igual a 16 milhões de dólares ( K=16).
    Explique os três estágios da produção (I, II e III) em termos de comportamento das curvas e suas implicações econômicas no setor de petróleo e gás.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma função de produção Cobb-Douglas no setor de petróleo e gás:
Q(L,K)=50,L^0.5,K^0.5
com (constante). O que o exercício pede é explicar os três estágios de produção (I, II e III) olhando para as curvas de produto total, produto marginal (PMg) e produto médio (PMé) e dizer o que cada fase significa na prática do setor. Para isso a gente vai:
  1. reduzir a função pra uma só variável ;
  2. calcular o PMé e o PMg (derivadas simples);
  3. usar esses resultados pra identificar e comentar cada estágio.

Passo 2

Primeiro, substitui Q(L)=50,L^0.5times16^0.5=50,L^0.5times4=200,L^0.5 em PMé = Q(L)L=200,L^0.5L=200,L^-0.5 = 200raizL, :
PMg = dQdL = ddLl(200,L^0.5r) =200times12,L^-0.5=100,L^-0.5 = 100raizL
Produto médio é
é
e produto marginal é

Passo 3

Estágio I (de até o ponto onde é):
  • Em geral, nessa fase é e é cresce.
  • Aqui, no nosso caso, e é, então sempre é.
  • Conclusão: não há região prática onde é. Ou seja, o estágio I é praticamente nulo.
Economicamente, estágio I seria quando adicionar mão de obra faz o trabalhador médio parecer cada vez mais produtivo. Mas no poço de petróleo, já partimos de uma escala tal que isso não acontece de fato.

Passo 4

Estágio II (entre é e ):
  • Caracteriza a “zona boa” de produção: é cai mas .
  • Aqui vemos que para todo , (já que nunca zera) e é.
  • Logo, toda a região operacional (todo ) é estágio II.
Na prática, essa é a fase ótima: cada trabalhador novo ainda aumenta a produção total (embora a taxas decrescentes), então faz sentido contratar até o ponto em que o custo marginal da mão de obra iguale o valor do produto marginal.

Passo 5

Estágio III (além do ponto onde vira negativa):
  • Em geral, aí e a produção total cai ao aumentar .
  • No nosso modelo, nunca fica negativa.
Então, na prática, não ocorre estágio III: não há excesso de mão de obra ao ponto de derrubar a produção total no setor de petróleo e gás com essa função.

Resposta

  1. A função reduzida é .
  2. Calculamos
    • Produto médio: é (sempre decrescente),
    • Produto marginal: (sempre positivo e abaixo do é).
  3. Estágio I (onde é) não existe;
  4. Estágio II (onde é cai mas ) é todo ;
  5. Estágio III (onde ) também não ocorre.
Em resumo, com e essa função Cobb-Douglas, o setor opera inteiramente em estágio II: a produção cresce a uma taxa decrescente conforme mais mão de obra é empregada, mas nunca entra em colapso nem em ganhos médios crescentes.

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