Uma empresa siderúrgica produz aço para o mercado nacional. Seus custos são controlados e conhecidos, sendo que o custo total de produção (dado em milhares de reais) pode ser definido como \mathrm{CT}=4 \mathrm{q}^{2}-160 \mathrm{q}+4500, onde q é a quantidade de aço produzido em toneladas. Como é uma indústria de base e seus produtos são utilizados como insumos para outras indústrias essa siderúrgica precisa operar no ponto de menor custo de produção para ser competitiva. Como um engenheiro de produção dessa empresa determine a) para qual valor de produção se tem o menor custo total [10%] e b) qual é o menor custo total de produção que pode ser praticado nessas condições [ 5 \% ]. Obs: \mathrm{CMg}=\mathrm{dCT} / \mathrm{dq}

Passo 1

O enunciado fornece a função do custo total (em milhares de reais) em função da produção q (em toneladas):
\mathrm{CT}(q)=4q^{2}-160q+4500.
Também informa a definição do custo marginal: \mathrm{CMg}=\dfrac{d\mathrm{CT}}{dq}.
As perguntas que preciso responder são:
a) Para qual valor de produção se tem o menor custo total?
b) Qual é o menor custo total de produção que pode ser praticado nessas condições?

Passo 2

Entendendo o que fazer (explicação didática e intuitiva). Quando buscamos o ponto de menor custo de uma função contínua e diferenciável como \mathrm{CT}(q), procuramos pontos onde a derivada é zero (esses são pontos estacionários) e então verificamos se é mínimo. Intuitivamente:
  • A derivada \dfrac{d\mathrm{CT}}{dq} mede a taxa de variação do custo total quando aumento uma unidade de produção (é o custo marginal).
  • Um mínimo interno costuma ocorrer onde a derivada é zero. Para confirmar que é realmente mínimo, avaliamos a segunda derivada: se a segunda derivada for positiva no ponto, temos mínimo local (a curva está “para cima” naquele ponto).
Vou aplicar isso passo a passo à função dada.

Passo 3

Calcular a derivada (o custo marginal) passo a passo. Relembre a regra básica: para uma potência q^{n}, \dfrac{d}{dq}q^{n}=nq^{n-1}. Aplicando termo a termo:
\frac{d\mathrm{CT}}{dq}=\frac{d}{dq}\big(4q^{2}\big)-\frac{d}{dq}\big(160q\big)+\frac{d}{dq}(4500).
Agora cada derivada:
\frac{d}{dq}\big(4q^{2}\big)=4\cdot 2q=8q, \qquad \frac{d}{dq}\big(160q\big)=160, \qquad \frac{d}{dq}(4500)=0.
Portanto o custo marginal é
\mathrm{CMg}(q)=\frac{d\mathrm{CT}}{dq}=8q-160.

Passo 4

Encontrar os pontos estacionários resolvendo \mathrm{CMg}(q)=0. Igualando a derivada a zero:
8q-160=0.
Isolando q:
8q=160\quad\Rightarrow\quad q=\frac{160}{8}=20.
Portanto há um ponto estacionário em \,q=20 (toneladas).

Passo 5

Verificar se é mínimo usando a segunda derivada. A segunda derivada é a derivada da primeira:
\frac{d^{2}\mathrm{CT}}{dq^{2}}=\frac{d}{dq}(8q-160)=8.
Como \dfrac{d^{2}\mathrm{CT}}{dq^{2}}=8>0 em todo q, a curva é convexa (abre para cima) e o ponto estacionário em q=20 é de fato um mínimo global para essa função quadrática. Conclusão: o menor custo ocorre em q=20 toneladas.

Passo 6

Calcular o menor custo total substituindo q=20 na função \mathrm{CT}(q). Substituição passo a passo:
\mathrm{CT}(20)=4\cdot 20^{2}-160\cdot 20+4500.
Calcule os termos:
20^{2}=400,\quad 4\cdot 400=1600,
160\cdot 20=3200.
Agora combine:
\mathrm{CT}(20)=1600-3200+4500.
Primeiro 1600-3200=-1600, então
-1600+4500=2900.
Portanto \mathrm{CT}_{\min}=2900.

Passo 7

Interpretar unidades e resultado final. Lembre que a função \mathrm{CT} estava dada em milhares de reais. Assim:
  • \mathrm{CT}_{\min}=2900 significa 2900 milhares de reais, ou seja 2{,}900{,}000 reais.
Mantenha confiança: o procedimento foi só calcular a derivada, achar onde é zero e confirmar com a segunda derivada — esse é o caminho padrão em provas para mínimos de funções de custo.

Resposta

q=20\\ \text{toneladas}
\mathrm{CT}_{\min}=2900 (milhares de reais) =2{,}900{,}000\\ \text{reais}

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