y^{\prime \prime}-3(\operatorname{tg} x) y^{\prime}=0 ; y_{1}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y''-3(\operatorname{tg} x)\,y'=0
e informa uma solução conhecida y_{1}=1.
O que se pede: encontrar a solução geral da equação (ou, equivalentemente, uma segunda solução linearmente independente que, junto com y_{1}, gere o espaço de soluções).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é homogênea e linear de segunda ordem.
  • Foi dada uma solução particular y_{1}=1.

Passo 2

Verificar que y_{1}=1 é solução (é sempre bom checar): para y\equiv1 temos y'=0 e y''=0. Substituindo na equação,
0 - 3(\operatorname{tg} x)\cdot 0 = 0,
logo y_{1}=1 satisfaz a equação.

Passo 3

Redução de ordem pelo fato de que já conhecemos uma solução. Uma técnica prática aqui é definir p(x)=y'(x). Assim a equação de segunda ordem se transforma numa equação de primeira ordem para p:
p'=y''.
Substituindo na equação original:
p' - 3(\operatorname{tg} x)\,p = 0.

Passo 4

Resolver a equação de primeira ordem obtida. É uma equação separável/linear simples:
\frac{p'}{p} = 3\,\operatorname{tg} x.
Integrando ambos os lados em x:
\ln|p| = 3\int \operatorname{tg} x\,dx = 3\bigl(-\ln|\cos x|\bigr) + C_1 = -3\ln|\cos x| + C_1.
Exponenciando,
p = C\,\cos^{-3}x = C\,\operatorname{sec}^{3}x,
onde C é constante arbitrária (aqui C=e^{C_1}).

Passo 5

Voltando a y: como p=y', temos
y' = C\,\operatorname{sec}^{3}x.
Integrando para obter y:
y(x)=C\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx + C_2,
onde C e C_2 são constantes de integração. Note que C_2 corresponde à solução constante já fornecida ( y_1=1 está representada por termos constantes).

Passo 6

Calcular a integral \displaystyle \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx. Fazendo por partes:
escreve-se \operatorname{sec}^{3}x=\operatorname{sec} x\cdot\operatorname{sec}^{2}x e escolhe-se
u=\operatorname{sec} x, dv=\operatorname{sec}^{2}x\,dx. Então du=\operatorname{sec} x\tan x\,dx e v=\tan x. Aplicando integração por partes:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \tan x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x)\,dx.
Usando \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1,
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec} x(\operatorname{sec}^{2}x-1)\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx + \int \operatorname{sec} x\,dx.
Isolando \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx:
2\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x + \int \operatorname{sec} x\,dx.
E sabendo que \displaystyle \int \operatorname{sec} x\,dx = \ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + \text{const}, obtemos
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \tfrac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x + \tfrac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + \text{const}.

Passo 7

Substituindo a integral no y(x) do Passo 5:
y(x)=C\left(\tfrac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x + \tfrac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr|\right) + C_2.
Renomeando constantes (por exemplo A=C_2 e B=\tfrac{C}{2}), a forma mais habitual da solução geral é
y(x)=A + B\left(\operatorname{sec} x\tan x + \ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr|\right),
onde A e B são constantes arbitrárias. (Nota: a constante multiplicativa dentro do parêntese pode absorver o fator 1/2; escrevi de forma comumente encontrada.)

Resposta

y(x)=A + B\!\left(\tfrac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x + \tfrac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr|\right)
ou, renomeando constantes,
y(x)=A + B\bigl(\operatorname{sec} x\tan x + \ln|\operatorname{sec} x + \tan x|\bigr),
com A,B constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados