(3 x+1) y^{\prime \prime}-(9 x+6) y^{\prime}+9 y=0 ; \quad y_{1}=e^{3 x}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
e informa uma solução conhecida
.
O que o exercício pede é encontrar a solução geral (isto é, duas soluções linearmente independentes e a combinação linear geral).
O que o exercício pede é encontrar a solução geral (isto é, duas soluções linearmente independentes e a combinação linear geral).
Informações relevantes:
- A equação é homogênea de segunda ordem com coeficientes que dependem de
. - Foi dada uma solução particular
. - A equação tem singularidade em
(pois aí), então as soluções são buscadas em intervalos onde .
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão
dividindo por
(válido para
):
É útil simplificar o coeficiente de
. Note que
Portanto o coeficiente
(na forma
) é
Passo 3
Vamos usar o método da redução de ordem para obter uma segunda solução linearmente independente a partir de
. A fórmula padrão (que vou explicar) diz que, se
é solução de
então uma segunda solução pode ser buscada na forma
. Uma forma direta e muito prática do resultado da redução de ordem é:
O que cada termo significa:
-
é o coeficiente de na forma padrão. -
é uma primitiva de . -
aparece na construção do fator integrante que surge na redução de ordem. - A integral dá uma função
tal que é solução. Uma constante de integração produz múltiplos da solução já conhecida , então podemos escolher a primitiva sem essa constante para obter uma solução independente.
Passo 4
Calcular
. Usando
:
Agora
. Assim
Passo 5
Calcular o integrando
. Usando o resultado anterior:
Como a equação é considerada em um intervalo onde
tem sinal fixo, podemos tomar
ou
; o sinal será absorvido pela constante de integração final. Para ficar simples escolhemos um intervalo onde
e usamos
. Então
Agora precisamos integrar
. Façamos termo a termo:
Calcule
por partes (ou recordar a fórmula). Usando integração por partes com
,
:
E
. Portanto
Multiplicando por
(para obter
):
Somando
obtemos
Fatorando:
Passo 6
Construir
pela fórmula
. Usando o que achamos:
O termo
é múltiplo da solução já conhecida
, portanto para obter uma segunda solução linearmente independente podemos escolher
e multiplicar por
se quisermos simplificar o sinal. Uma escolha simples e limpa é
Verificação rápida (útil na prova): para
tem-se
e
. Substituindo na equação original:
logo
é de fato solução. Note que também é equivalente usar a solução
(multiplicando por
), que pode deixar a forma livre de fração.
Passo 7
Como a equação é linear e homogênea, a solução geral é a combinação linear das duas soluções independentes
e
. Portanto a solução geral é
válida em qualquer intervalo onde
(ou alternativamente escrever
absorvendo constantes).