(3 x+1) y^{\prime \prime}-(9 x+6) y^{\prime}+9 y=0 ; \quad y_{1}=e^{3 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
(3x+1)\,y''-(9x+6)\,y'+9\,y=0
e informa uma solução conhecida \;y_{1}=e^{3x}.
O que o exercício pede é encontrar a solução geral (isto é, duas soluções linearmente independentes e a combinação linear geral).
Informações relevantes:
  • A equação é homogênea de segunda ordem com coeficientes que dependem de x.
  • Foi dada uma solução particular \;y_{1}=e^{3x}.
  • A equação tem singularidade em x=-\tfrac{1}{3} (pois 3x+1=0 aí), então as soluções são buscadas em intervalos onde 3x+1\neq0.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0 dividindo por 3x+1 (válido para 3x+1\neq0):
y''-\frac{9x+6}{3x+1}\,y'+\frac{9}{3x+1}\,y=0.
É útil simplificar o coeficiente de y'. Note que
\frac{9x+6}{3x+1}=\frac{3(3x+2)}{3x+1}=3+\frac{3}{3x+1}.
Portanto o coeficiente P(x) (na forma y''+P(x)y'+\cdots) é
P(x)=-\left(3+\frac{3}{3x+1}\right)=-3-\frac{3}{3x+1}.

Passo 3

Vamos usar o método da redução de ordem para obter uma segunda solução linearmente independente a partir de y_{1}. A fórmula padrão (que vou explicar) diz que, se y_{1} é solução de
y''+P(x)y'+Q(x)y=0,
então uma segunda solução pode ser buscada na forma \;y_{2}=y_{1}v(x). Uma forma direta e muito prática do resultado da redução de ordem é:
y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx.
O que cada termo significa:
  • P(x) é o coeficiente de y' na forma padrão.
  • \int P(x)\,dx é uma primitiva de P.
  • e^{-\int P} aparece na construção do fator integrante que surge na redução de ordem.
  • A integral dá uma função v(x) tal que y_2=y_1 v é solução. Uma constante de integração produz múltiplos da solução já conhecida \,y_1, então podemos escolher a primitiva sem essa constante para obter uma solução independente.

Passo 4

Calcular \int P(x)\,dx. Usando P(x)=-3-\dfrac{3}{3x+1}:
\int P(x)\,dx=\int\left(-3-\frac{3}{3x+1}\right)\,dx=-3x-3\int\frac{1}{3x+1}\,dx.
Agora \displaystyle \int\frac{1}{3x+1}\,dx=\frac{1}{3}\ln|3x+1|. Assim
\int P(x)\,dx=-3x-3\cdot\frac{1}{3}\ln|3x+1|=-3x-\ln|3x+1|.

Passo 5

Calcular o integrando \dfrac{e^{-\int P}}{y_1^{2}}. Usando o resultado anterior:
e^{-\int P}=e^{-(-3x-\ln|3x+1|)}=e^{3x+\ln|3x+1|}=e^{3x}\,|3x+1|.
Como a equação é considerada em um intervalo onde 3x+1 tem sinal fixo, podemos tomar |3x+1|=3x+1 ou |3x+1|=-(3x+1); o sinal será absorvido pela constante de integração final. Para ficar simples escolhemos um intervalo onde 3x+1>0 e usamos 3x+1. Então
\frac{e^{-\int P}}{y_1^{2}}=\frac{e^{3x}(3x+1)}{(e^{3x})^{2}}=(3x+1)e^{-3x}.
Agora precisamos integrar \displaystyle \int(3x+1)e^{-3x}\,dx. Façamos termo a termo:
\int(3x+1)e^{-3x}\,dx=\int 3x e^{-3x}\,dx+\int e^{-3x}\,dx.
Calcule \displaystyle \int x e^{-3x}\,dx por partes (ou recordar a fórmula). Usando integração por partes com u=x, dv=e^{-3x}dx:
\int x e^{-3x}\,dx = x\cdot\frac{e^{-3x}}{-3}-\int 1\cdot\frac{e^{-3x}}{-3}\,dx =-\frac{x e^{-3x}}{3}+\frac{1}{3}\int e^{-3x}\,dx.
E \displaystyle \int e^{-3x}\,dx=-\frac{1}{3}e^{-3x}. Portanto
\int x e^{-3x}\,dx=-\frac{x e^{-3x}}{3}+\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}e^{-3x}\right) =-\frac{x e^{-3x}}{3}-\frac{e^{-3x}}{9}.
Multiplicando por 3 (para obter \int 3x e^{-3x}\,dx):
\int 3x e^{-3x}\,dx=-x e^{-3x}-\frac{e^{-3x}}{3}.
Somando \int e^{-3x}\,dx=-\tfrac{1}{3}e^{-3x} obtemos
\int(3x+1)e^{-3x}\,dx=\left(-x e^{-3x}-\frac{e^{-3x}}{3}\right)-\frac{e^{-3x}}{3} =-x e^{-3x}-\frac{2}{3}e^{-3x}+C.
Fatorando:
\int(3x+1)e^{-3x}\,dx=-e^{-3x}\left(x+\tfrac{2}{3}\right)+C.

Passo 6

Construir y_{2} pela fórmula y_{2}=y_{1}\displaystyle\int\frac{e^{-\int P}}{y_1^{2}}dx. Usando o que achamos:
y_{2}=e^{3x}\left[-e^{-3x}\left(x+\tfrac{2}{3}\right)+C\right] = -\left(x+\tfrac{2}{3}\right)+C e^{3x}.
O termo C e^{3x} é múltiplo da solução já conhecida y_{1}, portanto para obter uma segunda solução linearmente independente podemos escolher C=0 e multiplicar por -1 se quisermos simplificar o sinal. Uma escolha simples e limpa é
y_{2}=x+\tfrac{2}{3}.
Verificação rápida (útil na prova): para y_{2}=x+\tfrac{2}{3} tem-se y_{2}'=1 e y_{2}''=0. Substituindo na equação original:
(3x+1)\cdot 0-(9x+6)\cdot 1+9\left(x+\tfrac{2}{3}\right)=-9x-6+9x+6=0,
logo y_{2} é de fato solução. Note que também é equivalente usar a solução 3x+2 (multiplicando por 3), que pode deixar a forma livre de fração.

Passo 7

Como a equação é linear e homogênea, a solução geral é a combinação linear das duas soluções independentes \;y_{1}=e^{3x} e \;y_{2}=x+\tfrac{2}{3}. Portanto a solução geral é
y=C_{1}e^{3x}+C_{2}\left(x+\tfrac{2}{3}\right),
válida em qualquer intervalo onde 3x+1\neq0 (ou alternativamente escrever y=C_{1}e^{3x}+C_{2}(3x+2) absorvendo constantes).

Resposta

y=C_{1}e^{3x}+C_{2}\left(x+\tfrac{2}{3}\right)

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