Uma empresa siderúrgica utiliza dois insumos principais em sua produção: mão de obra (L) e capital (K). A função de produção é dada por:
Q=40 L^0.5 K^0.5
Em que Q é o nível de produção (em toneladas de aço), L é a quantidade de mão de obra, e K é o capital utilizado.
Os custos dos insumos são:
  • Custo unitário da mão de obra (w): 20 por unidade.
  • Custo unitário do capital ®: 40 por unidade.
    O orçamento total da empresa para insumos é C=2400 C=2400.
    Explique o raciocínio econômico por trás da condição de equilíbrio: MPLMPK=wrMPLMPK = wr.

Passo 1

Beleza, aqui o que a gente tem: uma firma que produz aço usando mão de obra (L) e capital (K). A função de produção é
Q = 40,L^0.5K^0.5
Os preços são w = 20 para cada unidade de L e r = 40 para cada unidade de K, com orçamento total C = 2400.
Conteúdo: teoria da firma, custo mínimo e produtividade marginal. Vamos precisar calcular as produtividades marginais (MP_L e MP_K) e entender por que, no ponto ótimo de custo mínimo, a razão dessas produtividades (MRTS) bate com a razão de preços w/r.

Passo 2

Primeiro, calculamos as produtividades marginais:
  • A produtividade marginal do trabalho (MP_L) é a derivada parcial de Q em relação a L:
MPL = partialpartial Ll(40,L^0.5K^0.5r) = 40cdot 0.5,L^-0.5K^0.5 =20,raizKraizL
  • A produtividade marginal do capital (MP_K) vem da derivada em relação a K:
MPK = partialpartial Kl(40,L^0.5K^0.5r) = 40cdot 0.5,L^0.5K^-0.5 =20,raizLraizK
Essas medidas dizem “quanto extra de Q eu ganho se aumentar um pouquinho L ou K”.

Passo 3

Na teoria de custo mínimo, a gente fala em Taxa Marginal de Substituição Técnica (MRTS), que é
MRTS = MPLMPK
Substituindo:
MRTS = 20,raizKraizL20,raizLraizK = raizK/raizLraizL/raizK = KL
Isso mostra a “taxa” à qual o capital pode substituir o trabalho sem mudar Q.

Passo 4

O ponto de custo mínimo ocorre quando a curva de isoquanta (mesmo nível de Q) é tangente à reta de isocusto (mesmo custo C). A condição de tangência dá
MRTS ;=;wr
Aqui significa: a taxa de troca técnica entre L e K precisa bater com a taxa de troca de mercado (o preço de L dividido pelo preço de K). Se não bater, dá para “baratear” mexendo na combinação.

Passo 5

Interpretação econômica:
  • Se , então o trabalho rende “mais por dólar” que o capital, e vale trocar um pouco de capital por mais trabalho.
  • Se , o contrário: o capital rende mais por dólar, então trocamos trabalho por capital.
    Só quando é que não tem incentivo para realocar insumos, sinal de equilíbrio.

Resposta

A razão entre as produtividades marginais (MRTS = MP_L/MP_K) deve igualar a razão de preços (w/r) porque, no ponto de custo mínimo, a taxa à qual a firma pode substituir L por K tecnicamente (MRTS) coincide com a taxa de troca imposta pelo mercado (w/r). Isso garante que não haja ganho em alterar a combinação L–K sem ultrapassar o orçamento.

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