Uma empresa de tecnologia utiliza um sistema de monitoramento para detectar falhas em seus servidores. O sistema emite um alerta de falha quando identifica comportamentos anômalos. A probabilidade de um servidor realmente estar com falha é de 2 \%. Se o servidor está com falha, o sistema emite alerta corretamente em 95 \% dos casos. Se o servidor está funcionando normalmente, o sistema ainda pode emitir um alerta falso em 3 \% dos casos. Um alerta foi emitido.
a) Qual é a probabilidade de que o servidor esteja realmente com falha?
b) Agora, suponha que a empresa decida acionar uma equipe técnica sempre que houver alerta. Essa equipe, ao realizar uma inspeção, consegue identificar corretamente a presença de falha em 90 \% dos casos quando ela realmente existe, mas também gera um diagnóstico incorreto (indicando falha quando não há) em 5% dos casos. Um alerta foi emitido e, após a inspeção, a equipe técnica confirmou que há falha.
Qual é a probabilidade de que o servidor esteja realmente com falha?

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver nada ainda).
  • Eventos e probabilidades dadas (vou escrever em notação curta):
    • \,F: “servidor com falha”.
    • \neg F: “servidor sem falha”.
    • \,S: “sistema emite alerta”.
    • \,C: “equipe técnica confirma falha na inspeção”.
    • Probabilidades fornecidas:
      • \;P(F)=0,02 (2% de base).
      • \;P(S\mid F)=0,95 (sensibilidade do sistema).
      • \;P(S\mid\neg F)=0,03 (taxa de falso positivo do sistema).
    • Para a segunda parte (após a inspeção):
      • \;P(C\mid F)=0,90 (equipe identifica corretamente a falha em 90% dos casos).
      • \;P(C\mid\neg F)=0,05 (equipe dá diagnóstico falso de falha em 5% dos casos).
  • O que o enunciado pergunta:
    • (a) Dado que um alerta foi emitido ( S ocorreu), qual é \;P(F\mid S)?
    • (b) Dado que houve alerta ( S) e que a equipe técnica confirmou falha ( C), qual é \;P(F\mid S,C)?

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: probabilidade condicional e Teorema de Bayes (explicação passo a passo, sem pressa).
  • Probabilidade condicional:
    • \;P(A\mid B) significa “probabilidade de A ocorrer sabendo que B ocorreu”.
    • Definição básica: P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
    • Isso nasce da ideia de restringir o universo ao evento B.
  • Teorema de Bayes (ferramenta para inverter condicionais):
    • Partindo da definição acima, para dois eventos F e S, P(F\mid S)=\frac{P(S\mid F)\,P(F)}{P(S)}.
    • E P(S) pode ser obtido pela soma das contribuições de F e \neg F: P(S)=P(S\mid F)P(F)+P(S\mid\neg F)P(\neg F).
    • Intuição: a probabilidade posterior P(F\mid S) é proporcional à sensibilidade P(S\mid F) vezes a probabilidade a priori P(F), normalizada pela probabilidade total de observar S.

Passo 3

Aplicando Bayes para responder (a): calcular \;P(F\mid S).
  • Primeiro calcule P(S) usando a regra da probabilidade total: P(S)=P(S\mid F)P(F)+P(S\mid\neg F)P(\neg F).Substituindo os números: P(S)=0,95\cdot0,02 + 0,03\cdot0,98.
  • Calcule cada termo: 0,95\cdot0,02 = 0,019, \qquad 0,03\cdot0,98 = 0,0294.
  • Soma: P(S)=0,019+0,0294=0,0484.
  • Agora aplique Bayes: P(F\mid S)=\frac{P(S\mid F)P(F)}{P(S)}=\frac{0,019}{0,0484}.
  • Dividindo: P(F\mid S)\approx 0,39256\approx 39,26\%.
  • Interpretação curta: apesar do alerta, só há cerca de 39% de chance de haver realmente falha — isso acontece porque falhas são raras (2%) e a taxa de falsos positivos do sistema não é desprezível.

Passo 4

Preparando a parte (b): como incorporar a confirmação da equipe técnica.
  • O que queremos é \;P(F\mid S,C): probabilidade de falha dado que houve alerta e a equipe confirmou.
  • Podemos pensar de duas formas equivalentes:
    1. Atualizar sequencialmente: primeiro obter P(F\mid S) (já fizemos), depois aplicar Bayes outra vez usando esse resultado como prior para a confirmação C.
    2. Calcular diretamente usando probabilidades conjuntas assumindo que, dado o estado real F ou \neg F, as respostas do sistema e da equipe são independentes condicionalmente ao estado real (ou seja, a acurácia da equipe depende do estado verdadeiro, não do fato de ter havido alerta). Essa é uma suposição razoável aqui e simplifica os cálculos.
  • Usarei a abordagem direta por juntas (é mais direta e mostra tudo em números): P(F\mid S,C)=\frac{P(F\cap S\cap C)}{P(S\cap C)}.E P(S\cap C)=P(F\cap S\cap C)+P(\neg F\cap S\cap C).
  • Para calcular P(F\cap S\cap C) usamos multiplicação de condicionais: P(F\cap S\cap C)=P(F)\,P(S\mid F)\,P(C\mid F).E similarmente para \neg F: P(\neg F\cap S\cap C)=P(\neg F)\,P(S\mid\neg F)\,P(C\mid\neg F).

Passo 5

Cálculo numérico para (b) passo a passo.
  • Numerador:
    P(F\cap S\cap C)=0,02\cdot0,95\cdot0,90.
    Calcule:
    0,02\cdot0,95=0,019,\qquad 0,019\cdot0,90=0,0171.
    Logo \;P(F\cap S\cap C)=0,0171.
  • Termo para \neg F:
    P(\neg F\cap S\cap C)=0,98\cdot0,03\cdot0,05.
    Calcule:
    0,98\cdot0,03=0,0294,\qquad 0,0294\cdot0,05=0,00147.
    Logo \;P(\neg F\cap S\cap C)=0,00147.
  • Soma para o denominador:
    P(S\cap C)=0,0171+0,00147=0,01857.
  • Agora a razão:
    P(F\mid S,C)=\frac{0,0171}{0,01857}\approx 0,9211\approx 92,11\%.
  • Observação interpretativa: a confirmação da equipe, apesar de não ser perfeita, tem alta sensibilidade e baixa taxa de falso positivo, então ela aumenta bastante a probabilidade posterior — passamos de ~39% (só o alerta) para ~92% com a confirmação.

Passo 6

Resumo rápido e um empurrãozinho final (motivacional curto).
  • Resultado intuitivo: o alerta inicial já eleva a chance de falha, mas a confirmação da equipe é o que dá confiança forte no diagnóstico. Isso mostra o poder do Teorema de Bayes para combinar evidências em sequência.
  • Você já fez a parte difícil: identificar eventos, usar Bayes, e atualizar após nova evidência — essa é a técnica que costuma aparecer nessas provas. Vai dar certo!

Resposta

\text{(a) }P(F\mid S)\approx 0,3926 \approx 39{,}26\%
\text{(b) }P(F\mid S,C)\approx 0,9211 \approx 92{,}11\%

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