A tabela de contingência mostra o resultado de um teste de segurança em e-mails:
Malware presente Malware ausente Total
Teste + 80 20 100
Teste - 10 890 900
Total 90 910 1000
Se um e-mail é escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade de:
c) \quad \mathrm{P} (Teste +/Malware presente)

Passo 1

O enunciado dá uma tabela de contingência com os contagens de resultados do teste. Vou listar claramente as informações que temos (peguei os números da tabela enviada):
  • Total de e-mails: 1000.
  • E-mails com malware presente: 90.
  • E-mails sem malware: 910.
  • Teste positivo (Teste +) e malware presente: 80.
  • Teste positivo (Teste +) e malware ausente: 20.
  • Teste negativo (Teste -) e malware presente: 10.
  • Teste negativo (Teste -) e malware ausente: 890.
A pergunta (parte c) pede: calcular \mathrm{P}(\text{Teste + / Malware presente}).

Passo 2

Explicar o que é essa probabilidade condicional e a fórmula que usaremos.
Quando escrevemos \mathrm{P}(\text{Teste +}\mid \text{Malware presente}) queremos a probabilidade de o teste ser positivo sabendo que o e-mail realmente tem malware. A definição de probabilidade condicional é:
\mathrm{P}(A\mid B)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)},
onde:
  • A é o evento “Teste +”,
  • B é o evento “Malware presente”,
  • \mathrm{P}(A\cap B) é a probabilidade dos dois eventos ocorrerem juntos (ou seja, um e-mail que tem malware e o teste deu +),
  • \mathrm{P}(B) é a probabilidade do evento B (um e-mail ter malware).
Na prática, com dados de uma tabela como essa, podemos trabalhar com frequências relativas (contagens divididas pelo total). Outra forma prática e direta é: dado que estamos restringindo aos e-mails com malware presente ( B), a probabilidade pedida é simplesmente a fração dos desses casos em que o teste foi +:
\mathrm{P}(\text{Teste +}\mid \text{Malware presente})=\frac{\text{nº de casos (Teste + e Malware presente)}}{\text{nº de casos (Malware presente)}}.ºº

Passo 3

Substituir os números da tabela na fórmula em termos de contagens (peguei os números da tabela):
  • número de casos com \text{Teste +} e \text{Malware presente} é 80.
  • número total de casos com \text{Malware presente} é 90.
Portanto:
\mathrm{P}(\text{Teste +}\mid \text{Malware presente})=\frac{80}{90}.

Passo 4

Simplificar e interpretar numericamente.
Simplificando a fração:
\frac{80}{90}=\frac{8}{9}.
Como decimal, \dfrac{8}{9}=0{,}888\overline{8}. Aproximando com quatro casas decimais:
\dfrac{8}{9}\approx 0{,}8889.
Em porcentagem, isso é aproximadamente 88{,}89\%.
Interpretação breve (didática): esse valor representa a sensibilidade do teste — a proporção de e-mails infectados que o teste consegue detectar como positivos. Aqui, entre os 90 e-mails com malware, o teste detectou 80, então acerta 88{,}89\% dos infectados.

Passo 5

Resumo prático que você pode usar na prova: quando pedirem \mathrm{P}( \text{Teste +} \mid \text{Malware presente}) em uma tabela de contingência, restrinja ao total da coluna/linha correspondente ao “dado que” (aqui, aos 90 com malware) e conte quantos desses têm o resultado pedido (aqui, 80). Divida e simplifique.

Resposta

\dfrac{8}{9}\approx 0{,}8889 \approx 88{,}89\%

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