Uma empresa tem uma capacidade de produção de, no máximo, 200 unidades por semana. A função demanda do produto é p=-0,2 x+900, e o custo semanal é dado por C(x)=500-8 x+x^2. Qual preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro semanal?

Passo 1

Resumo do problema: a empresa tem demanda por preço dada por p=-0,2x+900, custo semanal C(x)=500-8x+x^2 e capacidade máxima de produção de 200 unidades. Queremos maximizar o lucro semanal, que envolve receita, custo e restrição de capacidade.

Passo 2

Definição de receita e lucro: a receita semanal é o produto da quantidade pelo preço e o lucro é a diferença entre receita e custo. Calculamos
R(x)=xcdot p(x)=x(-0,2x+900)=-0,2x^2+900x
pi(x)=R(x)-C(x)=-0,2x^2+900x-(500-8x+x^2)=-1,2x^2+908x-500

Passo 3

Determinação do ponto crítico: como pi(x) é uma parábola com coeficiente líder negativo (côncava para baixo), o máximo não restrito ocorre no vértice
x^*=-b2a=-9082cdot(-1,2)=9082,4approx378,33

Passo 4

Aplicação da restrição de capacidade: o valor crítico x^*approx378,33 excede o limite de 200, então o máximo ocorre em x=200.

Passo 5

Cálculo do preço ótimo: na função demanda, substituímos x=200
p=-0,2cdot200+900=860

Resposta

R$860

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