Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando
:
Passo 1
O problema pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
, sujeita às condições iniciais
e
. Vamos usar a técnica de equação característica para achar a solução geral e depois ajustar com os valores iniciais.
Passo 2
Na técnica da equação característica, supomos uma solução do tipo
e substituímos na ODE. Isso nos dá:
Resolvemos essa equação para encontrar as raízes.
Passo 3
Fatorando a equação característica, obtemos as raízes
e
. Assim, a solução geral da EDO é
Passo 4
Para ajustar aos valores iniciais, primeiro calculamos a derivada:
Em
temos as condições
e
Resolvendo, obtemos
e
. Logo
Passo 5
Para analisar o comportamento quando
, notamos que
. Então
quando
.
Resposta
A solução particular é
e quando
, temos
.