Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando t infty:
ly prime prime+3 y prime=0 y(0)=-2 ; y^prime(0)=3

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes y'' + 3y' = 0, sujeita às condições iniciais y(0) = -2 e y'(0) = 3. Vamos usar a técnica de equação característica para achar a solução geral e depois ajustar com os valores iniciais.

Passo 2

Na técnica da equação característica, supomos uma solução do tipo y = e^rt e substituímos na ODE. Isso nos dá:
r^2 + 3r = 0
Resolvemos essa equação para encontrar as raízes.

Passo 3

Fatorando a equação característica, obtemos as raízes r1 = 0 e r2 = -3. Assim, a solução geral da EDO é
y(t) = C1 + C2 e^-3t.

Passo 4

Para ajustar aos valores iniciais, primeiro calculamos a derivada:
y'(t) = -3 C2 e^-3t.
Em t = 0 temos as condições
y(0) = C1 + C2 = -2
e
y'(0) = -3 C2 = 3.
Resolvendo, obtemos C2 = -1 e C1 = -1. Logo
y(t) = -1 - e^-3t.

Passo 5

Para analisar o comportamento quando t to infty, notamos que e^-3t to 0. Então
y(t) to -1
quando t to infty.

Resposta

A solução particular é y(t) = -1 - e^-3t e quando t to infty, temos y(t) to -1.

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